El problema de la enseñanza de las matemáticas

El término "problema" está íntimamente asociado con las matemáticas y hay quienes señalan que hacer matemáticas es, esencialmente, resolver problemas. Matemática forma parte del plan de estudios escolar pero existe la sensación que es una materia difícil de aprender generando temor y rechazo. La forma de enseñanza, sobre todo en secundaria, ha contribuido con esta sensación. Parece que la enseñanza de las matemáticas resulta en sí mismo un problema, sin embargo como tal es factible de resolverse, en las siguientes líneas damos algunas propuestas de solución.

La matemática es considerada un área importante en la educación básica ya que posibilita desarrollar capacidades fundamentales para desenvolverse en la vida. Como área curricular comprende desde los tres hasta los 16 años pero su estudio puede continuar en la educación superior. Su enseñanza pasa por distintos actores y con ello cambia sus enfoques, objetivos y metodología. Siendo consideradas importantes y útiles para todos, estudiar matemáticas despierta interés solo en una parte de los estudiantes. El interés y la utilidad son, entre otros, factores intervinientes en la formación de actitudes. Las actitudes son adquiridas y, en matemáticas, son en gran medida el resultado de la experiencia académica. El enfoque del curso se convierte en un elemento principal de predisposición. La forma como se trabaje en lo cognitivo, emocional y afectivo puede explicar el rechazo o atracción por las matemáticas.

Existe la idea de que matemática es una materia difícil. Las personas consideran casi “normal” no dominarlas. Para muchos pensar en matemáticas es pensar en símbolos, fórmulas, ecuaciones y procedimientos que involucran hallar el valor de algo que, generalmente, no se sabe para qué o por qué. Memorizar fórmulas y exagerar en procedimientos algebraicos aleja el gusto por las matemáticas. Trabajar ejercicios rutinarios descontextualizados no permite darles su real valor, es más, limitan el tiempo para un aprendizaje más completo e inclusivo para captar a los menos hábiles. La cantidad de contenidos matemáticos y lo algebraico de los “ejercicios tipos” llevan al uso del método expositivo en las clases. Se cae en la enseñanza tradicional el docente resuelve ejercicios tipo, el estudiante escucha, anota y luego resuelve una batería de ejercicios. Se considera que cuantos más ejercicios resuelvan mayor nivel matemático se alcanzará. Sin embargo y lo más preocupante, es que ello no significa necesariamente aprender matemática y menos saberlas aplicar en distintas situaciones de la vida. Esta forma de enseñanza trabaja capacidades del nivel inferior descuidando el diálogo, análisis, argumentación y descubrimiento que son fundamentales en el aprendizaje. Como mencionó Harald Helfgott, matemático peruano reconocido por demostrar la conjetura débil de de Goldbach, las matemáticas requieren de ponerse en contacto con otros estudiantes "si uno aprende solo, puede pasar mucho tiempo en cuestiones de poca importancia; se aprende más rápido discutiendo".

La aceptación social de lo dificultoso de las matemáticas puede deberse a la forma en que ellas se aprendieron. Es difícil cambiar el modo de ver las matemáticas en una sociedad que no la concibe de otra forma. En tanto se enseñen matemáticas que despierte poco interés y trabaje pocas capacidades siempre habrá estudiantes con problemas en matemáticas. Existe una diferencia entre las matemáticas enseñadas en las aulas con aquella presente en las prácticas sociales de la comunidad. Construir y usar las matemáticas es uno de los aprendizajes fundamentales del nuevo marco curricular. Lo principal es la transferencia de conocimientos acumulados para resolver problemas reales a los que se podrían enfrentar en un futuro. Adoptar el enfoque de unas matemáticas contextualizadas supone considerar la resolución de problemas como centro de su enseñanza-aprendizaje. Para que los estudiantes usen y valoren las matemáticas se requiere proponer problemas de contexto (situación no resuelta pero que buscará resolverse) que conlleve un cambio en el modo de enseñar, aprender y evaluar. Y esto tiene incidencia en la actitud de los estudiantes ya que el enfoque del curso puede hacer cambiar la forma como se perciben las matemáticas.

Otra de las soluciones consistiría en permitir el uso de tecnología, consulta de fuentes diversas y el trabajo en equipo. Resultaría paradójico hablar de la importancia de la tecnología en la vida y no permitir su uso en la solución de problemas reales. Las calculadoras, apps y softwares especializados permiten tratar dinámicamente, distintos conceptos matemáticos que, sin su ayuda, son de difícil comprensión. Aunque diversas instituciones mundiales lo recomiendan en el Perú aún hay resistencia en cuanto a incorporar la tecnología en las actividades de clase. Se teme que su uso indiscriminado limite la adquisición de habilidades numéricas básicas, no obstante el tiempo que se gana posibilita concentrar el esfuerzo y atención en la comprensión de conceptos, formulación de hipótesis, elaboración de estrategias y discusión de argumentos favoreciendo el desarrollo de capacidades de nivel superior. Si la tendencia es resolver problemas contextualizados y siendo frecuente el uso de la tecnología en la vida cotidiana, es razonable usarla en nuestras clases. El reto para los docentes de matemáticas está en crear actividades que, progresivamente, integren estos recursos para lograr aprendizajes.

¿Matemática o matemáticas?

Al referirse a nuestra área es frecuente encontrar distintos modos de nombrarla. En la educación superior peruana encontramos asignaturas como Nivelación en Matemáticas, Matemática Básica, Matemáticas Básicas, Matemática, Matemáticas I, etc. A nivel escolar en las pruebas PISA se evalúa la competencia matemática y en documentos curriculares como los mapas de progreso y rutas del aprendizaje se hablan del área matemática. Se le nombra en singular pero también en plural. Algo similar encontramos en los títulos de algunos textos como Matemáticas aplicadas a la administración y la economía de Arya y Lardner[1] o los de Matemática de la colección Coveñas.

Se puede hablar de matemática o de matemáticas. Una búsqueda en el diccionario de la RAE arroja “matemática: ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones”[2]. El término aparece en singular aunque se señala que es más usado en plural pero con el mismo significado.

Cuando usamos el término matemática hacemos referencia a ella como una ciencia formal. Esto es como conocimiento racional, verificable y organizado que hace uso de entes formales y establece relaciones entre ellos. La matemática trata de entes que, bien sean abstractos o interpretados, solo existen en la mente humana. Por abstracción podemos establecer correspondencias entre estos entes formales y objetos de la realidad. Debido a esto es que diferentes ciencias sociales hacen uso de la matemática como herramienta para medir, interpretar, modelar y predecir relaciones entre las variables involucradas en sus objetos de estudio.

Russell señalaba que el estudio de la matemática puede proseguirse en dos direcciones opuestas. Una constructiva con una complejidad gradualmente creciente que va desde el estudio de los números naturales hasta la matemática superior y otra analítica que avanza hacia un grado cada vez mayor de abstracción y de simplicidad lógica. La primera, que llama matemática corriente, deduce a partir de definiciones y postulados iniciales; la segunda, alineada con la filosofía matemática, se pregunta a partir de qué ideas y principios generales se podrían deducir las definiciones y postulados de los que partimos.

Cuando usamos el término matemáticas nos referimos a las distintas ramas que ella comprende. Así tenemos que matemáticas como la Aritmética, el Álgebra, la Geometría, la Trigonometría, la Estadística y el Cálculo son, entre otras, algunas de las ramas más conocidas de la matemática. Cada una de ellas persigue un objeto particular de estudio. Así por ejemplo la Trigonometría estudia la relación entre las magnitudes lineales y angulares por medio de las llamadas razones trigonométricas. Según Hilbert el único modo razonable de definir a las matemáticas es mediante una descripción de la actividad matemática. Esto nos lleva a que, para definir las matemáticas, debemos conocer algunos de los términos u objetos de las que ella hace uso en su actividad. De aquí que el uso del plural se adecua más cuando nos referimos a las matemáticas aplicadas o a incluir varias ramas de ellas en una misma asignatura o texto.

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[1] https://books.google.com.pe/books/about/Matem%C3%A1ticas_aplicadas_a_la_administraci.html?id=2BXSxjlwlJ4C

[2] Diccionario de la RAE http://lema.rae.es/drae/?val=matem%C3%A1tica

Acerca de la Metodología

El término metodología está relacionado directamente con método. Según el diccionario enciclopédico de educación metodología refiere a la “aplicación coherente de un método” y al “conjunto de los métodos seguidos en la enseñanza de una materia”. Método, atendiendo a su etimología, es el modo o camino a seguir con arreglo a un orden para alcanzar un determinado fin. Todo método es de carácter prescriptivo por lo que puede ser expresado mediante un conjunto de procedimientos, normas o reglas. Por ejemplo en el caso de las matemáticas seguir el procedimiento dado por “cuadrado del primer término, más el doble del primero término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término” permite obtener el cuadrado de un binomio. Existen situaciones como el algoritmo anterior donde, bajo condiciones normales, la aplicación del método permite alcanzar el fin perseguido. Pero existen otras en que no podemos garantizarlo. 

La palabra método proviene de dos palabras griegas “meta” que significa más allá y “hodos” que significa camino. El logro de cierto fin depende de que se cuente con un “hodos” palabra cuyo significado tenía el sentido de artificio regulador. Esto sugiere que dicho camino puede ser perfeccionado con la práctica. De aquí que la metodología en sí misma no garantiza alcanzar el fin pero, al menos, lo facilita. Consideramos que es mejor contar con un método que no tenerlo. Actuar siguiendo un método es lo contrario a hacerlo en forma casual, improvisada y desordenada.

En el campo educacional hablamos de métodos de enseñanza como el activo, inductivo y heurístico entre otros. La Didáctica es el área de la pedagogía que, usando determinados métodos de enseñanza/aprendizaje, busca optimizar el aprendizaje del estudiante. Su carácter normativo tiene que ver con aspectos psicológicos, sociales y didácticos. Siendo la didáctica un área de la pedagogía todo acto didáctico constituye un acto pedagógico. La pedagogía es una disciplina constituida por reglas tecnológicas que prescriben cierto tipo de acciones para lograr determinados objetivos. Por ello no podemos decir que estas reglas son verdaderas o falsas sino que ellas son, en mayor o menor grado, eficientes dependiendo del nivel de éxito que se alcance.

Si bien los aspectos didácticos son de la mayor importancia, no lo son menos los psicológicos y sociales. Las actitudes hacia determinada materia, el autoconcepto, la autoestima, las creencias, la ansiedad son entre otros aspectos que se deben tener en cuenta en el diseño de la metodología y, sobre todo, durante su puesta en marcha. Por ejemplo las investigaciones han mostrado que las actitudes hacia las matemáticas están relacionadas con el rendimiento en esta área. Al mismo tiempo los horarios de aprendizaje, el ambiente donde se realiza, el grupo al que se integra, las interacciones dentro del grupo y la variedad de medios y recursos utilizados son factores intervinientes que pueden contribuir en mayor o menor medida al logro del fin propuesto. Así los métodos didácticos usan intencionalmente los recursos pertinentes que posibiliten alcanzar el fin planteado. 

Acerca del modelo flipped

La primera vez que supimos del modelo flipped fue a través del libro ¡Crearo Morir! de Andrés Oppenheimer. En la parte titulada como enseñanza personalizada Oppenheimer señala que debido al crecimiento de la educación por internet “las escuelas del futuro funcionarán exactamente al revés que las actuales: en lugar de que los niños vayan a la escuela a estudiar y hagan sus tareas en casa, estudiaran en casa – con vídeos y programas interactivos de computación – y luego harán sus tareas en la escuela, trabajando en equipo con sus compañeros y con el asesoramiento de sus maestros”. En Estados Unidos, Canadá e Inglaterra el modelo flipped se viene ensayando y difundiendo en varias instituciones educativas[1]. En los llamados flipped schools los estudiantes hacen en casa lo que en un programa tradicional hubieran hecho en la escuela y hacen en la escuela lo que, en un programa tradicional, hubieran hecho en casa. Una búsqueda por Google acerca de flipped classroom arroja más de 1’500,000 resultados. Entre ellos se puede encontrar publicaciones con las experiencias de docentes que aplican flipped lessons en sus cursos y redes de aprendizaje profesional para educadores como  http://flippedclassroom.org/, comunidad de habla inglesa con más de 25,000 docentes flipped y http://www.theflippedclassroom.es/ proyecto abierto, en castellano, para docentes que enseñan en distintos niveles.

En un programa que sigue el modelo flipped el trabajo de ciertos procesos de aprendizaje, aquellos que requieren niveles cognitivos más bajos, se transfiere fuera del aula de clase. El momento de escuchar la lección, la parte más pasiva del proceso de aprendizaje, queda a responsabilidad del estudiante. Así la introducción al tema, explicación de la teoría básica y ejemplos ilustrativos son revisados por el estudiante previamente al inicio de una nueva lección. Por lo general a través de vídeos seleccionados por el docente o grabados por el mismo. Esto se complementa resolviendo ejercicios, desarrollando cuestionarios o contestando un test. El docente recoge información de las actividades realizadas por sus estudiantes, su cumplimiento y niveles de logro. Aquellas cuestiones que el estudiante no pudo resolver, desarrollar o contestar son luego trabajadas en colaboración con sus compañeros o bajo la guía del docente durante la sesión presencial. De este modo se trasladan al aula de clase aquellas situaciones más dificultosas o interesantes, sobre todo aquellas comunes al grupo, donde es necesaria la intervención del docente. Se refuerza la teoría, comparten y discuten diferentes puntos de vista, estrategias o procedimientos seguidos para llegar a la solución de la situación propuesta que posibilite transferir lo aplicado a otro tipo de situaciones. Es aquí donde la didáctica del docente se evidencia en toda su dimensión buscando potenciar, en sus estudiantes, aquellos niveles cognitivos de orden superior.

Debido a que aún no se cuenta con estudios que lo puedan confirmar no se puede afirmar que este modelo pedagógico realmente mejore la calidad del aprendizaje o que disminuya el fracaso escolar. Sin embargo si de puede decir que este modelo trabaja aspectos fundamentales como que proporciona oportunidades para que el docente sepa lo que los estudiantes saben; mejora la participación del estudiante; posibilita al estudiante su propio ritmo de aprendizaje y permite el diseño de actividades más personales y significativas. Consideramos que estos aspectos son lo suficientemente importantes como para tener en cuenta el modelo flipped, involucrarse más con él y animarse a aplicarlo en nuestras lecciones.

[1] http://www.youngmarketing.co/flip-lessons-la-revolucion-del-aprendizaje-invertido/

Acerca del B-Learning

B-Learning es la forma abreviada de blended learning que, en nuestro idioma, podemos traducir como aprendizaje mezclado. Esta es una modalidad que combina la enseñanza presencial con actividades de aprendizaje no presencial mediadas por la tecnología. Esta forma combina lo mejor que podemos obtener de la clase presencial con la flexibilidad del aprendizaje no presencial a través de medios virtuales.

La presencial es, por excelencia y tradicionalmente, la modalidad seguida por la gran mayoría de instituciones educativas. Son varias las ventajas atribuibles a la enseñanza presencial con respecto a la no presencial virtual como 1) acercamiento más personal. Se posibilita una mayor comunicación e interacción entre profesor-estudiante y estudiante-estudiante; 2) se reducen los riesgos por la dependencia en el uso de los recursos. La experiencia del profesor permite realizar actividades de enseñanza/aprendizaje salvando problemas de acceso o conexión, entre otros; 3) las dudas de los estudiantes pueden ser aclaradas al momento. El profesor puede reforzar directamente algún punto que no haya sido comprendido; y 4) El profesor tiene una mayor control sobre el grupo de estudiantes al momento de realizar las actividades. Entre las desventajas de la enseñanza presencial están 1) por lo general se reduce a la tradicional exposición del profesor con la consecuente poca actividad de sus estudiantes; 2) se tiende a una  enseñanza unidireccional del profesor al estudiante descuidando la enseñanza/aprendizaje entre pares; 3) poca o nula flexibilidad de horarios, no asistir a la sesión de clase por lo general implica perderse de lo aprendido en clase; y 4) terminada la sesión no es posible revisar, repetidas veces, lo hecho o dicho exactamente por el profesor durante la clase.

Por otro lado son bastantes conocidas las ventajas que nos brinda el uso de la tecnología en nuestra vida cotidiana. Hoy un mayor número de personas cuentan con acceso al internet, la gran oferta y variedad de dispositivos móviles facilitan su acceso y velocidad en la transmisión de datos. El celular, y en particular el Smartphone con sus diferentes Apps, se han convertido en un elemento de uso indispensable para nuestras comunicaciones. Vemos que nuestros estudiantes actualizan su actividad en las redes sociales, revisan sus correos electrónicos y visualizan vídeos a través de su Smartphone. Es de esperar que luego en casa y desde otros dispositivos como tablets, laptops o PC su actividad se vea incrementada.

Pero así como nuestros estudiantes aprovechan lo virtual para su entretenimiento también lo hacen para revisar el blog del curso, descargar apuntes de clase, contestar los tests online y revisar sus calificaciones. Bajo la premisa que el estudiante se involucra con su aprendizaje, establece metas y adopta compromisos, la modalidad no presencial busca aprovechar al máximo los recursos educativos a los que ellos pueden acceder virtualmente. En un programa B-Learning las actividades de aprendizaje no presenciales son diseñadas y organizadas para alcanzar los objetivos educacionales. Su cumplimiento y evaluación es seguido por el profesor y el tutor quienes, usando los mismos medios, se comunican con sus estudiantes para hacer el feedback correspondiente. Un programa preuniversitario, como los ofrecidos por el Grupo La Matriz, que prepara a escolares el examen de admisión cuenta como aliada la alta motivación de los estudiantes por lograr su ingreso. Esta energía adicional es aprovechada para involucrarlos con su propio aprendizaje dentro y fuera del aula de clase. Con ayuda del tutor los estudiantes organizan sus actividades de aprendizaje no presencial de acuerdo a su tiempo disponible y ritmo de estudio siguiendo la metodología MATRIZ, propia de nuestro grupo de estudio. Esta metodología incorpora el modelo flipped para optimizar el tiempo de estudio durante su preparación. De este modo la terna estudiante-profesor-tutor trabajan juntos buscando alcanzar las metas y compromisos establecidos en el programa.

Algunos enlaces de interés:

Sistemas B-Learning: Definición, tendencias actuales y futuras direcciones

Universidad de Los Andes - Colombia. Tendencias: Blended Learning

Blended Learning: conceptos básicos

¿Qué es el Blended Learning?

Del eLearning al Blended Learning: nuevas acciones educativas

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Te damos la bienvenida a nuestro blog, el Blog del Grupo La Matriz.

Somos Educadores Asociados, promotores del Grupo La Matriz, una empresa peruana que, desde el 2002, se especializa en la preparación preuniversitaria; el adelanto, nivelación y refuerzo de clases para el nivel universitario y escolar de las más prestigiosas universidades privadas y colegios del Perú.

Nuestro grupo nace del deseo de los estudiantes de lograr sus objetivos, metas profesionales y académicas. Desde entonces venimos trabajando en esta línea diseñando programas a la medida de nuestros estudiantes. En este blog queremos compartir nuestra experiencia, difundir diferentes metodologías, modalidades y enfoques educativos así como compartir contenidos, particularmente del área matemática, que puedan ser de utilidad para los visitantes.

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