Pertenencia e inclusión

Consideremos el siguiente ejercicio:

El anterior es un ejercicio clásico del tema de conjuntos. Tomamos el término clásico como un adjetivo que refiere a algo típico o característico cuando se trata el tema. Este carácter lo otorga el hecho que para responder correctamente el ejercicio se requiere distinguir entre pertenencia e inclusión. Pertenencia e inclusión nos refieren a relaciones que existen entre los elementos y subconjuntos de un conjunto con el propio conjunto.

La matemática trata de entes matemáticos que son abstractos o interpretados y solo existen en la mente humana. Dedekind designaba como “cosa” a todo objeto de nuestro pensamiento. Esta “cosa” quedaría completamente determinada a partir de todo aquello que se podía decir o pensar de ella. Señalaba que con frecuencia distintas cosas, consideradas por cualquier motivo bajo un mismo punto de vista, son reunidas mentalmente. De esta noción de reunión, colección, agrupación surge la idea de conjunto y con ello las de elemento y pertenencia. Dedekind llamaba a dicha reunión sistema (o un conjunto) y a las cosas que eran reunidas elementos del sistema puntualizando que un sistema es igualmente, como objeto de nuestro pensamiento, una cosa. De aquí que un sistema queda totalmente determinado cuando para cada cosa está determinado si es o no un elemento del sistema. En el diccionario de la RAE se dice que conjunto es la “totalidad de los entes matemáticos que tienen una propiedad común”.

Conjunto es un concepto primitivo que nos da la idea de agrupación, colección o reunión de objetos que están bien definidos.

En tanto ciencia formal la matemática hace uso de símbolos y, en el caso de los conjuntos, se utilizan letras mayúsculas para distinguirlos. Los objetos que forman el conjunto se llaman “elementos del conjunto” y una forma de expresar el conjunto es agrupando sus elementos organizadamente encerrados entre llaves. Así por ejemplo el “conjunto de las vocales de la palabra colegio” se presenta del siguiente modo { e, i, o }. Nótese que ellos siguen un orden alfabético y a pesar que “colegio” tiene dos veces la vocal “o” en el conjunto se le escribe solo una vez.

Si un objeto x es elemento de un conjunto A diremos que x pertenece al conjunto A lo que denotamos por xÎA. Del mismo modo si un objeto x no es elemento del conjunto A  diremos que x no pertenece al conjunto A y escribimos xÏA. La relación de pertenencia (o no pertenencia) se da entre un elemento y un conjunto.

Dado un elemento x  y un conjunto A de un universo, una y solo una de las siguientes expresiones es verdadera xÎA o xÏA.

Se denomina conjunto vacío, simbolizado por f o { }, aquel conjunto que no tiene elementos. Dado un conjunto A no vacío, si tomamos algunos de sus elementos podemos formar otros conjuntos que constituyen subconjuntos del conjunto A dado. De este modo cualquier elemento de un subconjunto de A también es elemento de A. Si un conjunto tiene n elementos se pueden obtener 2ⁿ subconjuntos entre los que se consideran el propio conjunto y el vacío. Un conjunto B está incluido en otro conjunto A si B es subconjunto de A y denotamos BÌA. La relación de inclusión (o no inclusión) se da entre un conjunto y otro conjunto.

Dado dos conjuntos A y B de elementos de un conjunto universal, decimos que B está incluido en A y denotamos por BÌA, si cada elemento de B es también un elemento de A.

En el ejemplo citado tenemos el conjunto A={2,3,{4},5}. Este conjunto tiene cuatro elementos que son 2, 3, {4} y 5. Podemos decir entonces que las afirmaciones I (2ÎA) y III ({4}ÎA) son verdaderas. Mientras que la II (4ÎA), IV ({2,5}ÎA) y V ({{4}}ÎA) son falsas debido a que ninguno de estos 4, {2,5}, {{4}} son elementos del conjunto A. Dado que el conjunto A tiene cuatro elementos, entonces A tiene 16 subconjuntos. Son cuatro subconjuntos de un elemento {2}, {3}, {{4}}, {5}; seis subconjuntos de dos elementos {2,3}, {2,{4}}, {2,5}, {3,{4}}, {3,5}, {{4},5}; cuatro subconjuntos de tres elementos {2,3,{4}}, {2,3,5}, {3,{4},5}, {2,{4},5}; el propio conjunto {2,3,{4},5} y el conjunto vacío f. De aquí entonces que las afirmaciones VII ({2}ÌA), IX ({{4}}ÌA) y X ({2,5}ÌA) son verdaderas, siendo falsas la VI (2ÌA) y VIII ({4}ÌA).

Hemos visto que si x es elemento de un conjunto A, las expresiones xÎA y {x}ÌA son verdaderas mientras que xÌA y {x}ÎA son falsas. Sin embargo debe tenerse cuidado con esto último en el sentido que podría presentarse el caso de un conjunto que tenga por elementos x y {x}. Tomemos el caso del conjunto B={6,{6}} el cual tiene dos elementos 6 y {6} y cuatro subconjuntos {6}, {{6}}, {6,{6}} y f. Con respecto a los elementos 6 y {6} es correcto afirmar 6ÎA y {6}ÎA, con respecto al subconjunto {6} es correcto afirmar {6}ÌA. Este tipo de situaciones la encontramos como parte de los “ejercicios tipo” del tema de conjuntos de separatas de algunas academias de Lima. Juzgue Ud. su pertinencia.