Al hacer una búsqueda por Google
acerca del tema conjuntos numéricos
en las imágenes encontramos un buen número de representaciones como la mostrada
en la figura 1. Sin embargo esta representación no describe en forma correcta
las relaciones que existen entre los distintos conjuntos numéricos. Se muestra
una zona de números reales que no son racionales ni irracionales y sabemos que
no existen este tipo de números.
Hagamos una rápida revisión de
los conjuntos numéricos.
El primer conjunto que
mencionaremos es el de los números
naturales. Este conjunto, representado por N,
comprende aquellos números que utilizamos para contar como el uno, dos, tres,
cuatro, etc[1].
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... }
El conjunto N es cerrado con respecto a la
adición y multiplicación. Esto es que dados dos números naturales a
Este segundo conjunto, que cubre
la necesidad señalada anteriormente, es el de los números enteros. Este conjunto, representado por Z, comprende los números
naturales, sus respectivos opuestos aditivos y el cero. Dicho de otra forma el
conjunto Z es la reunión de los enteros positivos Z+,
el cero y los enteros negativos Z-.
Z = { ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ... }
El conjunto Z es cerrado con respecto a la
adición, sustracción y multiplicación pero no respecto a la división. Así dados
dos números enteros a
El tercer conjunto, representado
por Q, es el de los números racionales. Este incluye al
conjunto de los números enteros. El término racional viene de ración (parte de,
fracción). En general diremos que un número es racional si puede escribirse
como la fracción de dos números enteros con denominador diferente de cero.
El conjunto Q es cerrado con respecto a las cuatro operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división) y, de acuerdo con la definición, los números racionales comprenden los números enteros, los decimales finitos y los decimales infinitos periódicos. Sin embargo existen números que
no son ni enteros, ni decimales finitos, ni decimales infinitos periódicos. Un
ejemplo clásico lo constituyen las raíces cuadradas de los números primos. Números como √2 o π son decimales
infinitos no periódicos:
Estos números no son racionales.
El último conjunto numérico que
mencionaremos es el conjunto de los números
reales. Los reales, representados por R,
es la reunión del conjunto de los racionales
y los irracionales: R=QÈI. Considerando R como el conjunto universal
diremos que Q y I son complementarios con
respecto a R. Esto es que
dado que R=QÈI entonces Q’=R-Q=I y I’=R-I=Q.
De esto último se desprende que:
- Si x es un número real y x no es un número racional, entonces x es un número irracional.
- Si x es un número real y x no es un número irracional, entonces x es un número racional.
- No existe un número real x que no sea ni racional ni irracional al mismo tiempo.
Ahora volvamos a la imagen
presentada.
Figura 1
En la imagen claramente se lee R=QÈI, lo indica que el conjunto de
los números reales (R) es la reunión del conjunto de
los números racionales (Q) y el conjunto de los números irracionales (I). Reunión que se busca
describir con la representación gráfica. La imagen también muestra que el conjunto
de los números naturales (N) está incluido en el conjunto
de los números enteros (Z) y a su vez el conjunto Z está incluido en el conjunto Q. Al mismo tiempo la imagen
muestra que el conjunto Q
es disjunto del conjunto I,
es decir que Q y I no tienen elementos comunes.
Dicho de otra forma, y tal como sabemos, no hay ningún número que sea racional e irracional al mismo tiempo.
Analizaremos un poco más lo
representado en la imagen de la figura 1. Para ello mostramos un desglosado de
dicha imagen en las figuras 2, 3 y 4 que utilizamos para sustentar el error en
el que se cae (o induce) con el tipo de representación de la figura 1.
1)
En la figura 2 podemos reconocer una zona (azul)
fuera del conjunto N pero
dentro del conjunto Z.
Esto significa que en esa zona existen números enteros que no son naturales.
Figura
2
En la zona azul se
ubicarían los enteros negativos y el cero.
2)
En la figura 1 podemos reconocer una zona
(verde) fuera del conjunto Z
pero dentro del conjunto Q.
Esto significa que en esa zona existen números racionales que no son enteros.
Figura
3
En la zona verde se
ubicarían los decimales finitos y los decimales infinitos periódicos.
3)
En la figura 4 podemos reconocer una zona (amarilla)
fuera del conjunto Q y
fuera del conjunto I pero
dentro del conjunto R.
Esto significa que en esa zona existen números reales que no son racionales ni
irracionales.
Figura 4
De 3) nos preguntamos, ¿qué
números se ubicarían en la zona amarilla?
Un número de esta zona sería real
pero no racional ni irracional. Bien sabemos que no existe un número con esas
características. Si un número es real o bien es racional o bien es irracional.
No hay una tercera posibilidad. Esto se explica debido a que R=QÈI. De esto se desprende que la
zona amarilla no existe y por tanto la imagen de la figura 1 no describe
correctamente las relaciones entre los conjuntos numéricos.
Dejando claro que R=QÈI;
QÇI=f; NÌZÌQ, recomendamos utilizar otro
tipo de representación como la mostrada en la figura 5.
Figura 5
[1] Adoptamos el enfoque que el
cero no es un número natural.
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