viernes, 25 de septiembre de 2015

Pertenencia e inclusión

Consideremos el siguiente ejercicio:

El anterior es un ejercicio clásico del tema de conjuntos. Tomamos el término clásico como un adjetivo que refiere a algo típico o característico cuando se trata el tema. Este carácter lo otorga el hecho que para responder correctamente el ejercicio se requiere distinguir entre pertenencia e inclusión. Pertenencia e inclusión nos refieren a relaciones que existen entre los elementos y subconjuntos de un conjunto con el propio conjunto.

La matemática trata de entes matemáticos que son abstractos o interpretados y solo existen en la mente humana. Dedekind designaba como “cosa” a todo objeto de nuestro pensamiento. Esta “cosa” quedaría completamente determinada a partir de todo aquello que se podía decir o pensar de ella. Señalaba que con frecuencia distintas cosas, consideradas por cualquier motivo bajo un mismo punto de vista, son reunidas mentalmente. De esta noción de reunión, colección, agrupación surge la idea de conjunto y con ello las de elemento y pertenencia. Dedekind llamaba a dicha reunión sistema (o un conjunto) y a las cosas que eran reunidas elementos del sistema puntualizando que un sistema es igualmente, como objeto de nuestro pensamiento, una cosa. De aquí que un sistema queda totalmente determinado cuando para cada cosa está determinado si es o no un elemento del sistema. En el diccionario de la RAE se dice que conjunto es la “totalidad de los entes matemáticos que tienen una propiedad común”.

Conjunto es un concepto primitivo que nos da la idea de agrupación, colección o reunión de objetos que están bien definidos.

En tanto ciencia formal la matemática hace uso de símbolos y, en el caso de los conjuntos, se utilizan letras mayúsculas para distinguirlos. Los objetos que forman el conjunto se llaman “elementos del conjunto” y una forma de expresar el conjunto es agrupando sus elementos organizadamente encerrados entre llaves. Así por ejemplo el “conjunto de las vocales de la palabra colegio” se presenta del siguiente modo { e, i, o }. Nótese que ellos siguen un orden alfabético y a pesar que “colegio” tiene dos veces la vocal oen el conjunto se le escribe solo una vez.

Si un objeto x es elemento de un conjunto A diremos que x pertenece al conjunto A lo que denotamos por xÎA. Del mismo modo si un objeto x no es elemento del conjunto A  diremos que x no pertenece al conjunto A y escribimos xÏA. La relación de pertenencia (o no pertenencia) se da entre un elemento y un conjunto.

Dado un elemento x  y un conjunto A de un universo, una y solo una de las siguientes expresiones es verdadera xÎA o xÏA.

Se denomina conjunto vacío, simbolizado por f o { }, aquel conjunto que no tiene elementos. Dado un conjunto A no vacío, si tomamos algunos de sus elementos podemos formar otros conjuntos que constituyen subconjuntos del conjunto A dado. De este modo cualquier elemento de un subconjunto de A también es elemento de A. Si un conjunto tiene n elementos se pueden obtener 2n subconjuntos entre los que se consideran el propio conjunto y el vacío. Un conjunto B está incluido en otro conjunto A si B es subconjunto de A y denotamos BÌA. La relación de inclusión (o no inclusión) se da entre un conjunto y otro conjunto.

Dado dos conjuntos A y B de elementos de un conjunto universal, decimos que B está incluido en A y denotamos por BÌA, si cada elemento de B es también un elemento de A.

En el ejemplo citado tenemos el conjunto A={2,3,{4},5}. Este conjunto tiene cuatro elementos que son 2, 3, {4} y 5. Podemos decir entonces que las afirmaciones I (2ÎA) y III ({4}ÎA) son verdaderas. Mientras que la II (4ÎA), IV ({2,5}ÎA) y V ({{4}}ÎA) son falsas debido a que ninguno de estos 4, {2,5}, {{4}} son elementos del conjunto A. Dado que el conjunto A tiene cuatro elementos, entonces A tiene 16 subconjuntos. Son cuatro subconjuntos de un elemento {2}, {3}, {{4}}, {5}; seis subconjuntos de dos elementos {2,3}, {2,{4}}, {2,5}, {3,{4}}, {3,5}, {{4},5}; cuatro subconjuntos de tres elementos {2,3,{4}}, {2,3,5}, {3,{4},5}, {2,{4},5}; el propio conjunto {2,3,{4},5} y el conjunto vacío f. De aquí entonces que las afirmaciones VII ({2}ÌA), IX ({{4}}ÌA) y X ({2,5}ÌA) son verdaderas, siendo falsas la VI (2ÌA) y VIII ({4}ÌA).

Hemos visto que si x es elemento de un conjunto A, las expresiones xÎA y {x}ÌA son verdaderas mientras que xÌA y {x}ÎA son falsas. Sin embargo debe tenerse cuidado con esto último en el sentido que podría presentarse el caso de un conjunto que tenga por elementos x y {x}. Tomemos el caso del conjunto B={6,{6}} el cual tiene dos elementos 6 y {6} y cuatro subconjuntos {6}, {{6}}, {6,{6}} y f. Con respecto a los elementos 6 y {6} es correcto afirmar 6ÎA y {6}ÎA, con respecto al subconjunto {6} es correcto afirmar {6}ÌA. Este tipo de situaciones la encontramos como parte de los “ejercicios tipo” del tema de conjuntos de separatas de algunas academias de Lima. Juzgue Ud. su pertinencia.

miércoles, 9 de septiembre de 2015

Definiciones y axiomas en la construcción de objetos matemáticos

La matemática, al igual que la lógica, es una ciencia formal que, según Bunge, trata de entes ideales abstractos o interpretados que solo existen en la mente humana. Los entes matemáticos son construidos a partir de definiciones y axiomas. Por medio de la definición se expone, con claridad y exactitud, los caracteres genéricos y diferenciales del ente matemático. Por ejemplo en el libro I de su monumental obra Los Elementos, Euclides empieza dando un conjunto de definiciones, entre ellas las de punto y línea:

1.       Un punto es lo que no tiene partes.
2.       Una línea es una longitud sin anchura.

Punto y línea son ejemplos de entes matemáticos. En este caso se trata de entes cuyas ideas nos remiten a objetos concretos o representaciones de objetos que existen en el mundo real. La idea de un punto nos la da un granito de arena o la marca que deja un lápiz afilado sobre una hoja de papel mientras que un hilo tenso y largo nos da la idea de línea. Sin embargo la formulación, construcción y desarrollo de la matemática se basa en el razonamiento y demostración independientemente de los objetos concretos. Reiteramos que la matemática trata con entes ideales. La definición de punto indica que es aquello que no tiene partes, pero en el mundo real ¿puede existir algo que no tenga partes? Vemos que la definición de punto, al igual que la de línea, es solo una idea. De aquí que no se debe pretender asociar toda definición matemática con algo concreto ya que estamos tratando con cuestiones ideales. La definición de cono se presenta como un ejemplo más descriptivo de este carácter ideal: “Un conjunto AÌ2  es un cono si (x,y)ÎA entonces (tx,ty)ÎA, para todo t>0”. Esta definición, aunque no parezca muy clara, permite construir la de función homogénea en tanto que una condición necesaria, pero no suficiente, para que una función f sea homogénea es que su dominio sea un cono.

La definición de un mismo ente matemático puede hacerse de varias formas usando el lenguaje natural o el propio lenguaje matemático. Tomemos como ejemplo estas definiciones del número p:
Las tres definiciones anteriores son correctas lógicamente. No admiten contradicciones ni consigo misma ni con ninguna definición anterior. Sin embargo ellas corresponden a diferentes partes de las matemáticas y requieren de cierta base de conocimientos para ser comprendidas. En el primer caso de conocimientos básicos de geometría, en el segundo de series matemáticas y teoría de ecuaciones, y en el tercero de la convergencia de integrales impropias. La comprensión de la definición de un ente matemático requiere a su vez saber otras definiciones sean estas conceptuales u operacionales. Por ejemplo comprender la definición “p  es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro” supone haber definido previamente circunferencia y diámetro, así como saber medir su longitud y calcular la razón entre ellas. Un aspecto crucial en el trabajo con las matemáticas radica en el hecho de definir cada ente o término antes de ser usado. Sobre todo al momento de enunciar los teoremas que se siguen. De este modo se otorga claridad y ayuda a prevenir falacias en sus demostraciones asegurando su consistencia interna.

Regresemos a Euclides. Una vez definidos los términos primitivos (punto, línea, superficie, etc.) este da un conjunto de postulados que refieren a los términos primitivos y servirán de apoyo para razonamientos posteriores en la construcción del resto de su obra. El primer postulado dice “De un punto a otro puede trazarse solamente una línea recta”. Los postulados de Euclides son principios matemáticos tan claramente ciertos que nadie en su sano juicio que los entienda puede dudar de su verdad. En la actualidad el uso del término postulado ha caído en desuso y solemos usar el de axioma. Euclides también utiliza axiomas (o nociones comunes) como por ejemplo “Las cantidades iguales a una misma son iguales entre sí”. Para Euclides la diferencia básica entre los postulados y los axiomas parece ser que los primeros hablan de los términos primitivos de la Geometría mientras que los segundos son más generales. Los axiomas enuncian en forma clara y breve verdades matemáticas que, aunque no siempre nos resultan evidentes, son aceptadas sin demostración. Por ejemplo en el sistema de los números reales encontramos los axiomas A1 de clausura " a, b Î a+b Î   y  A2 del neutro aditivo $ 0 Î tal que " a Î a + 0 = 0 + a = a. El A1 señala que la suma de dos números reales es también un número real y el A2 enuncia la existencia del número 0, neutro aditivo, que es tal que la suma de cualquier número real con 0 resulta el mismo número real. Otro axioma es el de completitud. “Todo conjunto no vacío de números reales que esté acotado superiormente admite un supremo”. Para muchos este axioma no resulta algo evidente ni fácil de comprender ya que demanda conocer la definición de supremo y conjunto acotado. Sin embargo su interpretación es sencilla y se basa en que, intuitivamente, aceptamos que los números reales completan la recta numérica. Esto es que a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por lo tanto no queda ningún hueco en la recta ya que todos son tapados por algún número real y de aquí la completitud.


Las definiciones y los axiomas resultan de la mayor importancia ya que estos constituyen el punto de partida de las demostraciones de los teoremas que son enunciados a partir de ellos. La acción de enunciar nos refiere a expresar, por medio del lenguaje natural o matemático, una cuestión matemática con sentido completo. Así un enunciado puede referirse a una cuestión teórica como un teorema o también a algo práctico como un problema. Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso. En matemática, por lo general, se suelen utilizar las proposiciones para enunciar la verdad de una cuestión matemática que ya ha sido demostrada o se pretende demostrar. Este es el caso de los teoremas y los lemas. Un teorema es una proposición que afirma una verdad que puede ser demostrada. Demostrar es probar la verdad de lo que se afirma. Toda demostración matemática supone ciertas condiciones de partida o premisas como lo son los axiomas y las definiciones previas a lo enunciado por dicho teorema. Lo que se busca demostrar debe ser consecuencia lógica de estas premisas. Para ello utilizamos todas las herramientas que la matemática nos brinda. Un lema es una proposición que hay que demostrar antes de establecer un teorema. Esto suele hacerse con el objeto de acortar la demostración del teorema en tanto ella se apoya del lema en cuestión. Dependiendo de cómo se estructuren y ordenen los apuntes teóricos un lema puede servir para más de un teorema. De un teorema se puede desprender otras proposiciones verdaderas que son llamadas corolario. Los teoremas y corolarios suelen ser enunciados sin mencionar su naturaleza y presentados como propiedades de este modo se le otorga un atributo o cualidad a un determinado objeto matemático que se va construyendo.