Número PI

En matemáticas operamos con números y estos son de diferentes tipos. Por ejemplo tenemos números positivos y negativos, pares e impares, primos y compuestos, enteros y decimales, racionales e irracionales, entre otros. Existen infinitos números que pertenecen a distintos conjuntos numéricos. Entre todos ellos hay uno que goza de cierta singularidad y suele ser de fácil recordación para las personas. Hablamos del número PI representado por la letra griega π. ¿Recuerda Ud. el valor de π? Lo más probable es que piense en π como 3.1416. Sin embargo esta es solo una aproximación ya que π  es un número irracional, es decir que se trata de un número decimal infinito no periódico. 

A diferencia de los racionales los números irracionales no son generados por fracciones. Esto significa que no existen dos números enteros A y B tales que la fracción A/B genere π. Son números irracionales todos los decimales infinitos no periódicos. Entonces una primera cuestión acerca de PI es que este es un decimal infinito y por tanto el clásico 3.1416 es solo una aproximación. Una segunda cuestión es que se trata de un decimal no periódico, esto es que en la expansión decimal de π no encontramos una secuencia de dígitos que se repitan. La irracionalidad de π fue demostrada en 1761 por el alemán Johann Lambert. PI tiene otras características que son interesantes de comentar como por ejemplo que se trata de un número trascendental. Esto significa que π no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Para aclarar este punto tomemos como ejemplo al número √2 (raíz cuadrada de 2). El número √2 es también un irracional pero no es trascendental ya que este es solución de una ecuación polinomial con coeficientes enteros como lo es x2-2=0. Fue otro alemán, Ferdinand Lindermann, quién en 1882 demostró que π es trascendental. 

Hemos comentado acerca de la irracionalidad y lo trascendental de π pero ¿qué es el número PI? Las antiguas civilizaciones se dieron cuenta de que la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro era siempre la misma. Se trate de un círculo pequeño como una moneda, uno mediano como un CD o uno grande como el que suele hacerse para señalar los círculos de seguridad, la relación entre la circunferencia del círculo (perímetro o medida de la longitud alrededor del círculo) y su diámetro (segmento recto que une dos puntos del contorno del círculo pasando por el centro) es constante. Fue el matemático inglés William Jones quien desde 1706 propuso el uso de π para esta constante la misma que se hizo popular cuando Leonard Euler la adoptó en 1737 debido al prestigio con que contaba este ilustre matemático suizo. 

Comentemos un poco más acerca del valor de π. Si de un círculo cualquiera mides su diámetro con una cuerda y esta la curvas siguiendo el contorno del círculo verás que necesitas un poco más de tres diámetros para cubrir completamente dicho contorno. Calcular con la mayor precisión el valor de π ha sido, desde que se conoció la relación constante entre la Circunferencia (C) y el diámetro (D) de un círculo, una preocupación de las distintas generaciones de matemáticos. En el papiro de Rhind, que data de 1750 a.C. se encuentra el valor 4(8/9)2, que equivale a 3.1605, para esta constante. De un texto de la biblia (Libro primero de los Reyes 7:23) se desprende que se le toma con el valor 3 "Hizo asimismo un mar de diez codos de lado a lado, perfectamente redondo; su profundidad era de cinco codos, y lo ceñía una cinta de treinta codos". Fue Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C) quien creo un modo de "capturar" el valor de PI al construir un hexágono regular inscrito y otro circunscrito a un mismo círculo. Si tomamos el diámetro del círculo como de 1 u entonces, aplicando relaciones geométricas, tenemos que el perímetro del hexágono inscrito es 3 y el del circunscrito 2√3, esto es aproximadamente 3.46. De aquí que 3<C<3.46 y dado que π=C/D para D=1 se tiene que π=C, resulta que 3<π<3.46 lo que indica que el valor de π está comprendido entre 3 y 3.46. Al repetir este procedimiento con polígonos regulares de un mayor número de lados tendríamos extremos más estrechos que acotan el valor de π. Arquímedes, usando polígonos de 96 lados, llegó a encontrar que PI estaba comprendido entre 3+10/71 y 3+1/7 o lo que es lo mismo que 3.14084<π<3.14289. Con esta metodología, para encontrar valores más aproximados de PI, bastaba con trabajar con polígonos de mayor números de lados. Así en el siglo I el chino Tsu Chung-Chih y su hijo Tsu Keng.Chih llegaron hasta 3.141592 con un polígono de 12288 lados.  

Fue el célebre matemático Gottfried Leibniz quien junto a John Gregory, en el siglo XVII, introducen una nueva etapa en busca de "atrapar" el valor de PI por medio de la serie infinita π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9.... Más tarde Euler propondría otras series, como la que se muestra en la imagen, que permitieron a los matemáticos de los siglos XVIII y XIX encontrar mejores aproximaciones de PI. A inicios del siglo XX el matemático y notable calculista indio Srinivasa Ramanujan desarrolló series infinitas para PI entre ellas presentamos la más famosa. Inspirados por Ramanujan, los hermanos Gregory y David Chudnovsky, matemáticos de origen ucranianos, desarrollaron en la década de 1980 una fórmula que por cada nuevo término añade aproximadamente 15 dígitos más a la expansión decimal de PI. 

En 1991 los hermanos Chudnovsky determinaron PI con más de dos mil millones de posiciones decimales. En 2002, el científico computacional de la universidad de Tokyo, Yasumasa Kanada alcanzó 1.2 billones de dígitos. Luego en 2008 compatriotas suyos de la universidad de Tsukuba llegaron a 2.6 billones y en 2009 el francés Fabrice Bellard anunció PI con 2.7 billones de decimales, record que le llevó 131 días de computo mediante el algoritmo de Chudnovsky. En la actualidad la búsqueda de nuevos dígitos de PI es usada para evaluar la capacidad de procesamiento y velocidad de los ordenadores. La expansión decimal de PI, debido a que no se encuentra ningún orden en ella, posibilita usarla como generadora de números aleatorios. Existen sitios web que pueden hallar la primera aparición en PI de una fecha dada o el número de tu celular. Así motivados por nuestras fiestas patrias desde la página http://mypiday.com/ encontramos que el 28 de julio de 1821 (expresado como 7/28/21) fecha en que se proclamó nuestra independencia se encuentra en la posición decimal 656487 y el día de hoy 7/29/15 en la posición 134369. Mientras que desde la página http://three.onefouronefive.net/  encontramos que el día de hoy, expresado por la secuencia 29072015, se encuentra en la posición decimal 304332913.