¿Es cero un número natural?

La respuesta es sí y no, depende del enfoque que se adopte. Mientras que nadie discute que 1 es un número natural y que el 0 es un número entero si existen discrepancias en cuanto a la naturaleza del 0. Considerar que 0Îℕ o que 0Ïℕ es una cuestión de conveniencia que, en gran medida, depende del nivel y la naturaleza del curso de matemática que se desarrolla. El docente debe conocer ambos enfoques y adoptar uno de ellos dando razones del porqué de su elección. En las siguientes líneas haremos una breve descripción de estos enfoques.

Un primer enfoque señala que el cero no es un número natural. El argumento se basa en lo “natural” de los números naturales. Los naturales fue el primer conjunto numérico que creó el hombre. No es descabellado pensar que el hombre primitivo tenía el sentido del número. Esto es la facultad que “le permite reconocer que algo ha cambiado en una pequeña colección cuando, sin su conocimiento directo, se ha sacado o añadido un objeto” (Dantzig, 1971). El hombre establece relaciones de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Al primer objeto de un conjunto se le asocia un objeto del otro conjunto, al segundo objeto se le asocia otro y así hasta agotar el número de objetos del primer conjunto. Por ejemplo haciendo una pila de piedras colocando una tras otra por cada objeto registrado de la colección. Nace la idea del número cardinal. De aquí que representar lo que se ve para registrar el número de objetos de cierta colección decanta como algo natural. Incisiones sobre un árbol, marcas en arcilla y rayas en piedras resultaron formas naturales de registrar números en forma escrita. Evidencia de esto son el registro de números naturales en los documentos dejados por los sumerios alrededor del 3500 a.C. En la escritura cuneiforme solo existían símbolos para los números 1, 10, 60 y 3600 (Bellos, 2011), no existía una representación del cero. Lo mismo podemos decir de los egipcios, babilonios y romanos. La representación del número cero nos llega mucho después, sobre todo como una necesidad de la representación posicional. Según Dantzig (1971) “la mente concreta de los antiguos griegos no podía concebir el vacío como un número” menos aún dotarlo de un símbolo. Se atribuye a los hindúes el descubrimiento del cero por la necesidad de representar números sin ambigüedad. Se debe a ellos el uso del cero, no sólo como cifra numérica, sino como símbolo operatorio (Rey y Babini, 1951).

La representación del cero en la matemática hindú o incluso por los mayas (quienes representaban el cero con un signo semejante a una concha) no es un argumento a favor de ser un número natural. Sin embargo, históricamente esto muestra que el hombre necesitó de varios siglos para comprender su significado, necesidad e importancia a diferencia de otros números. Bajo este enfoque el cero no es un número natural. Mientras que resulta natural representar lo que se ve, no parece ser natural representar lo que no se ve. Lima, en su encantador libro mi profesor de matemática, escribe que no ayuda a la discusión examinar si el número cero es o no natural en oposición a artificial. Señala que “los nombres de las cosas en matemática no son escogidos generalmente de modo que transmitan una idea sobre lo que deben ser esas cosas” (Lima, 1998). De aquí que a continuación describimos argumento más fuerte del porque no se considera el cero como un número natural. Considerar cero como natural o no es una decisión que se arrastrará a lo largo de un curso de cálculo diferencial e integral. Esto debe evitar contradicciones internas. Un concepto importante en el cálculo es el de sucesión. Una sucesión de números reales es un conjunto de números escritos en un orden definido y suele definirse como una función cuyo conjunto de partida es el conjunto de los números naturales (f :ℕ®ℝ). Así a cada número natural n le corresponde un término a_n=f (n) de la sucesión. El concepto de sucesión permite definir punto de acumulación. A su vez este permite definir el del límite de una función y con ello dos conceptos fundamentales del cálculo: derivada e integral definida. En toda sucesión infinita se puede reconocer un primer término a₁, un segundo término a₂, un tercero a₃ y así sucesivamente. Como vemos la definición de sucesión considera al conjunto ℕ como empezando desde el número uno, no desde el cero. Luego, bajo este enfoque, el cero no es un número natural.   

Un segundo enfoque señala que el cero es un número natural. Este enfoque está asociado con la aritmética de Peano (1858-1932) quien a partir de tres ideas (cero, número y sucesor) y cinco axiomas expresa los principios esenciales de los números naturales. Los cinco axiomas (o proposiciones primitivas como lo llama Rusell) son:

1. 0 es un número.
2. El sucesor de cualquier número es un número.
3. Dos números distintos no tienen nunca el mismo sucesor.
4. 0 no es el sucesor de ningún número.
5. Toda propiedad perteneciente al 0 así como al sucesor de todo número que posea esta propiedad, pertenecerá igual a todos los demás números.

Entendemos por sucesor el número siguiente en el orden natural. El sucesor de 0 es 1, el sucesor de 1 es 2, el sucesor de 2 es 3 y así sucesivamente. Queda claro que, bajo este enfoque, el 0 es un número natural. Russell en su Introducción a la Filosofía Matemática (1988) lo dice claramente:

“Actualmente, para la persona medianamente instruida, el punto de partida obvio de la matemática sería la serie de los números enteros:

1, 2, 3, 4, … etc.

Probablemente, sólo a una persona con algunos conocimientos de matemática se le ocurriría empezar por el 0 y no por el 1; pero aquí presupondremos este grado de conocimiento y partiremos de la serie: 

0, 1, 2, 3, … n, n+1, …

y a esta serie nos referiremos cuando hablamos de la serie de los números naturales”

Peano no definió los términos “cero”, “número” ni “sucesor”. Por lo que aceptamos los axiomas de Peano suponiendo la comprensión de estos términos. Russell (1988), busca definir el término “número” basándose en la idea de clase (o colección) señalando que “número es todo aquello que sea el número de alguna clase”, donde “número de una clase es la clase de todas las clases similares a ella” y que “una clase es similar a otra cuando existe una relación biunívoca de la cual una clase es el dominio y la otra es el dominio inverso”. Estas definiciones nos llevan a considerar un número natural como el cardinal de un conjunto. Bajo este enfoque el cero es un número natural. Dado que existe el conjunto vacío y este no tiene ningún elemento, entonces cero es el cardinal del conjunto vacío. Los números naturales sirven de especie básica de números a partir de la cual puede derivarse otros conjuntos numéricos. Reconociendo que este término tiene cierta ambigüedad (en tanto algunos incluyen el cero entre los números naturales y otros no), Barker (1965) señala que “debemos contar con él”. La teoría de conjuntos requiere considerar al cero como cardinal del conjunto vacío. El álgebra lo necesita para definir el elemento neutro aditivo (a+0=a, "Îℕ) y permitir que al operar a-b resulte un número natural "a,bÎℕ tal que a³b. Así cuando el algebrista considera el cero como número natural, está facilitándose la vida, eliminando algunas excepciones (Lima, 1998).

Es conocido el esfuerzo hecho por Russell y Whitehead para dotar a la matemática del formalismo que permita derivar conocimientos a partir de un conjunto de axiomas. Se introducen términos matemáticos que se definen por medio de otros términos. Basta con revisar la definición de número dada por Russell para quien “la matemática pura consiste únicamente en afirmaciones tales como, si de algo se puede decir tal cosa y tal otra, entonces para este algo se cumple esto y aquello” (citado por Paulos, 2003). Sin embargo excedernos en el formalismo, sacrificando concreción por abstracción, puede llevar al docente a un terreno no deseado cuyo costo generalmente lo paga el estudiante. Considerar el cero como un número natural es cuestión de conveniencia. Los docentes debemos tener en cuenta el nivel educativo y el programa del curso de matemática para adoptar un enfoque. Es recomendable que en una misma institución se adopte el mismo enfoque a lo largo de la carrera. No debería ocurrir que existan contradicciones. De ser el caso los estudiantes deben conocer los dos enfoques y el docente sustentar el por qué adopta uno de ellos. Tampoco debería ocurrir que esta discusión se extienda más allá de lo necesario. Con frecuencia los docentes hacen un pequeño comentario, casi como si se tratara de una nota al pie de página, mencionando que existe otro enfoque distinto al adoptado. Esto debe hacerse con mucho cuidado ya que si bien protege al profesor de posibles críticas también puede confundir al estudiante si este no tiene la suficiente madurez matemática.

Referencias

Barker, S. (1965). Filosofía de las matemáticas. UTEHA. México, México. p. 89.

Bellos, A. (2011). Alex en el país de los números. Grijalbo. España. p. 76.

Dantzig, T. (1971). El número lenguaje de la ciencia. Editorial Hobbs. Buenos Aires, Argentina. p. 17, 36, 45.

Lima, E. (1998). Mi profesor de matemática. Instituto de Matemática y Ciencias Afines. Lima, Perú. pp. 148-149.

Paulos, J. (2003). Más allá de los números. Meditaciones de un matemático. METATEMAS, Barcelona, España. p. 140.

Rey, J. y Babini, J. (1951). Historia de la matemática. Espasa Calpe. Buenos Aires, Argentina. pp. 126-129.

Russell, B. (1988). Introducción a la filosofía matemática. Ediciones Paidós. Barcelona, España. pp. 12-25.