La matemática, al igual que la
lógica, es una ciencia formal que, según Bunge, trata de entes ideales
abstractos o interpretados que solo existen en la mente humana. Los entes
matemáticos son construidos a partir de definiciones y axiomas. Por medio de la
definición se expone, con claridad y exactitud, los caracteres genéricos y
diferenciales del ente matemático. Por ejemplo en el libro I de su monumental
obra Los Elementos, Euclides empieza dando un conjunto de definiciones, entre
ellas las de punto y línea:
1.
Un punto es lo que no tiene partes.
2.
Una línea es una longitud sin anchura.
Punto y línea son ejemplos de
entes matemáticos. En este caso se trata de entes cuyas ideas nos remiten a
objetos concretos o representaciones de objetos que existen en el mundo real.
La idea de un punto nos la da un granito de arena o la marca que deja un lápiz afilado
sobre una hoja de papel mientras que un hilo tenso y largo nos da la idea de
línea. Sin embargo la formulación, construcción y desarrollo de la matemática
se basa en el razonamiento y demostración independientemente de los objetos
concretos. Reiteramos que la matemática trata con entes ideales. La definición de
punto indica que es aquello que no tiene partes, pero en el mundo real ¿puede
existir algo que no tenga partes? Vemos que la definición de punto, al igual
que la de línea, es solo una idea. De aquí que no se debe pretender asociar toda
definición matemática con algo concreto ya que estamos tratando con cuestiones ideales.
La definición de cono se presenta como un ejemplo más descriptivo de este carácter
ideal: “Un conjunto AÌℝ2 es un
cono si (x,y)ÎA entonces (tx,ty)ÎA, para todo t>0”. Esta definición,
aunque no parezca muy clara, permite construir la de función homogénea en tanto
que una condición necesaria, pero no suficiente, para que una función f sea
homogénea es que su dominio sea un cono.
La definición de un mismo ente
matemático puede hacerse de varias formas usando el lenguaje natural o el
propio lenguaje matemático. Tomemos como ejemplo estas definiciones del número p:
Las tres definiciones anteriores
son correctas lógicamente. No admiten contradicciones ni consigo misma ni con
ninguna definición anterior. Sin embargo ellas corresponden a diferentes partes
de las matemáticas y requieren de cierta base de conocimientos para ser comprendidas.
En el primer caso de conocimientos básicos de geometría, en el segundo de series
matemáticas y teoría de ecuaciones, y en el tercero de la convergencia de integrales
impropias. La comprensión de la definición de un ente matemático requiere a su
vez saber otras definiciones sean estas conceptuales u operacionales. Por
ejemplo comprender la definición “p
es la razón entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro” supone haber definido previamente circunferencia
y diámetro, así como saber medir su longitud y calcular la razón entre ellas.
Un aspecto crucial en el trabajo con las matemáticas radica en el hecho de
definir cada ente o término antes de ser usado. Sobre todo al momento de
enunciar los teoremas que se siguen. De este modo se otorga claridad y ayuda a
prevenir falacias en sus demostraciones asegurando su consistencia interna.
Regresemos a Euclides. Una vez
definidos los términos primitivos (punto, línea, superficie, etc.) este da un
conjunto de postulados que refieren a los términos primitivos y servirán de apoyo
para razonamientos posteriores en la construcción del resto de su obra. El
primer postulado dice “De un punto a otro puede trazarse solamente una línea recta”.
Los postulados de Euclides son principios matemáticos tan claramente ciertos que
nadie en su sano juicio que los entienda puede dudar de su verdad. En la
actualidad el uso del término postulado ha caído en desuso y solemos usar el de
axioma. Euclides también utiliza axiomas (o nociones comunes) como por ejemplo “Las
cantidades iguales a una misma son iguales entre sí”. Para Euclides la
diferencia básica entre los postulados y los axiomas parece ser que los primeros
hablan de los términos primitivos de la Geometría mientras que los segundos son
más generales. Los axiomas enuncian en forma clara y breve verdades matemáticas
que, aunque no siempre nos resultan evidentes, son aceptadas sin demostración. Por
ejemplo en el sistema de los números reales encontramos los axiomas A1 de clausura "
a,
b
Î ℝ: a+b Î ℝ y A2 del neutro aditivo $ 0 Î ℝ tal que " a Î ℝ: a + 0 = 0 + a = a.
El A1 señala que la suma de dos números reales es también un número real y el
A2 enuncia la existencia del número 0, neutro aditivo, que es tal que la suma
de cualquier número real con 0 resulta el mismo número real. Otro axioma es el
de completitud. “Todo conjunto no vacío de números reales que esté acotado
superiormente admite un supremo”. Para muchos este axioma no resulta algo evidente
ni fácil de comprender ya que demanda conocer la definición de supremo y conjunto
acotado. Sin embargo su interpretación es sencilla y se basa en que,
intuitivamente, aceptamos que los números reales completan la recta numérica.
Esto es que a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por lo
tanto no queda ningún hueco en la recta ya que todos son tapados por algún
número real y de aquí la completitud.
Las definiciones y los axiomas resultan
de la mayor importancia ya que estos constituyen el punto de partida de las
demostraciones de los teoremas que son enunciados a partir de ellos. La acción
de enunciar nos refiere a expresar, por medio del lenguaje natural o
matemático, una cuestión matemática con sentido completo. Así un enunciado
puede referirse a una cuestión teórica como un teorema o también a algo
práctico como un problema. Una proposición es un enunciado que puede ser
verdadero o falso. En matemática, por lo general, se suelen utilizar las
proposiciones para enunciar la verdad de una cuestión matemática que ya ha sido
demostrada o se pretende demostrar. Este es el caso de los teoremas y los lemas.
Un teorema es una proposición que afirma una verdad que puede ser demostrada. Demostrar
es probar la verdad de lo que se afirma. Toda demostración matemática supone
ciertas condiciones de partida o premisas como lo son los axiomas y las
definiciones previas a lo enunciado por dicho teorema. Lo que se busca
demostrar debe ser consecuencia lógica de estas premisas. Para ello utilizamos
todas las herramientas que la matemática nos brinda. Un lema es una proposición
que hay que demostrar antes de establecer un teorema. Esto suele hacerse con el
objeto de acortar la demostración del teorema en tanto ella se apoya del lema
en cuestión. Dependiendo de cómo se estructuren y ordenen los apuntes teóricos
un lema puede servir para más de un teorema. De un teorema se puede desprender
otras proposiciones verdaderas que son llamadas corolario. Los teoremas y corolarios
suelen ser enunciados sin mencionar su naturaleza y presentados como propiedades
de este modo se le otorga un atributo o cualidad a un determinado objeto
matemático que se va construyendo.
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