Número PI

En matemáticas operamos con números y estos son de diferentes tipos. Por ejemplo tenemos números positivos y negativos, pares e impares, primos y compuestos, enteros y decimales, racionales e irracionales, entre otros. Existen infinitos números que pertenecen a distintos conjuntos numéricos. Entre todos ellos hay uno que goza de cierta singularidad y suele ser de fácil recordación para las personas. Hablamos del número PI representado por la letra griega π. ¿Recuerda Ud. el valor de π? Lo más probable es que piense en π como 3.1416. Sin embargo esta es solo una aproximación ya que π  es un número irracional, es decir que se trata de un número decimal infinito no periódico. 

A diferencia de los racionales los números irracionales no son generados por fracciones. Esto significa que no existen dos números enteros A y B tales que la fracción A/B genere π. Son números irracionales todos los decimales infinitos no periódicos. Entonces una primera cuestión acerca de PI es que este es un decimal infinito y por tanto el clásico 3.1416 es solo una aproximación. Una segunda cuestión es que se trata de un decimal no periódico, esto es que en la expansión decimal de π no encontramos una secuencia de dígitos que se repitan. La irracionalidad de π fue demostrada en 1761 por el alemán Johann Lambert. PI tiene otras características que son interesantes de comentar como por ejemplo que se trata de un número trascendental. Esto significa que π no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Para aclarar este punto tomemos como ejemplo al número √2 (raíz cuadrada de 2). El número √2 es también un irracional pero no es trascendental ya que este es solución de una ecuación polinomial con coeficientes enteros como lo es x2-2=0. Fue otro alemán, Ferdinand Lindermann, quién en 1882 demostró que π es trascendental. 

Hemos comentado acerca de la irracionalidad y lo trascendental de π pero ¿qué es el número PI? Las antiguas civilizaciones se dieron cuenta de que la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro era siempre la misma. Se trate de un círculo pequeño como una moneda, uno mediano como un CD o uno grande como el que suele hacerse para señalar los círculos de seguridad, la relación entre la circunferencia del círculo (perímetro o medida de la longitud alrededor del círculo) y su diámetro (segmento recto que une dos puntos del contorno del círculo pasando por el centro) es constante. Fue el matemático inglés William Jones quien desde 1706 propuso el uso de π para esta constante la misma que se hizo popular cuando Leonard Euler la adoptó en 1737 debido al prestigio con que contaba este ilustre matemático suizo. 

Comentemos un poco más acerca del valor de π. Si de un círculo cualquiera mides su diámetro con una cuerda y esta la curvas siguiendo el contorno del círculo verás que necesitas un poco más de tres diámetros para cubrir completamente dicho contorno. Calcular con la mayor precisión el valor de π ha sido, desde que se conoció la relación constante entre la Circunferencia (C) y el diámetro (D) de un círculo, una preocupación de las distintas generaciones de matemáticos. En el papiro de Rhind, que data de 1750 a.C. se encuentra el valor 4(8/9)2, que equivale a 3.1605, para esta constante. De un texto de la biblia (Libro primero de los Reyes 7:23) se desprende que se le toma con el valor 3 "Hizo asimismo un mar de diez codos de lado a lado, perfectamente redondo; su profundidad era de cinco codos, y lo ceñía una cinta de treinta codos". Fue Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C) quien creo un modo de "capturar" el valor de PI al construir un hexágono regular inscrito y otro circunscrito a un mismo círculo. Si tomamos el diámetro del círculo como de 1 u entonces, aplicando relaciones geométricas, tenemos que el perímetro del hexágono inscrito es 3 y el del circunscrito 2√3, esto es aproximadamente 3.46. De aquí que 3<C<3.46 y dado que π=C/D para D=1 se tiene que π=C, resulta que 3<π<3.46 lo que indica que el valor de π está comprendido entre 3 y 3.46. Al repetir este procedimiento con polígonos regulares de un mayor número de lados tendríamos extremos más estrechos que acotan el valor de π. Arquímedes, usando polígonos de 96 lados, llegó a encontrar que PI estaba comprendido entre 3+10/71 y 3+1/7 o lo que es lo mismo que 3.14084<π<3.14289. Con esta metodología, para encontrar valores más aproximados de PI, bastaba con trabajar con polígonos de mayor números de lados. Así en el siglo I el chino Tsu Chung-Chih y su hijo Tsu Keng.Chih llegaron hasta 3.141592 con un polígono de 12288 lados.  

Fue el célebre matemático Gottfried Leibniz quien junto a John Gregory, en el siglo XVII, introducen una nueva etapa en busca de "atrapar" el valor de PI por medio de la serie infinita π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9.... Más tarde Euler propondría otras series, como la que se muestra en la imagen, que permitieron a los matemáticos de los siglos XVIII y XIX encontrar mejores aproximaciones de PI. A inicios del siglo XX el matemático y notable calculista indio Srinivasa Ramanujan desarrolló series infinitas para PI entre ellas presentamos la más famosa. Inspirados por Ramanujan, los hermanos Gregory y David Chudnovsky, matemáticos de origen ucranianos, desarrollaron en la década de 1980 una fórmula que por cada nuevo término añade aproximadamente 15 dígitos más a la expansión decimal de PI. 

En 1991 los hermanos Chudnovsky determinaron PI con más de dos mil millones de posiciones decimales. En 2002, el científico computacional de la universidad de Tokyo, Yasumasa Kanada alcanzó 1.2 billones de dígitos. Luego en 2008 compatriotas suyos de la universidad de Tsukuba llegaron a 2.6 billones y en 2009 el francés Fabrice Bellard anunció PI con 2.7 billones de decimales, record que le llevó 131 días de computo mediante el algoritmo de Chudnovsky. En la actualidad la búsqueda de nuevos dígitos de PI es usada para evaluar la capacidad de procesamiento y velocidad de los ordenadores. La expansión decimal de PI, debido a que no se encuentra ningún orden en ella, posibilita usarla como generadora de números aleatorios. Existen sitios web que pueden hallar la primera aparición en PI de una fecha dada o el número de tu celular. Así motivados por nuestras fiestas patrias desde la página http://mypiday.com/ encontramos que el 28 de julio de 1821 (expresado como 7/28/21) fecha en que se proclamó nuestra independencia se encuentra en la posición decimal 656487 y el día de hoy 7/29/15 en la posición 134369. Mientras que desde la página http://three.onefouronefive.net/  encontramos que el día de hoy, expresado por la secuencia 29072015, se encuentra en la posición decimal 304332913.

¿Es cero un número natural?

La respuesta es sí y no, depende del enfoque que se adopte. Mientras que nadie discute que 1 es un número natural y que el 0 es un número entero si existen discrepancias en cuanto a la naturaleza del 0. Considerar que 0Îℕ o que 0Ïℕ es una cuestión de conveniencia que, en gran medida, depende del nivel y la naturaleza del curso de matemática que se desarrolla. El docente debe conocer ambos enfoques y adoptar uno de ellos dando razones del porqué de su elección. En las siguientes líneas haremos una breve descripción de estos enfoques.

Un primer enfoque señala que el cero no es un número natural. El argumento se basa en lo “natural” de los números naturales. Los naturales fue el primer conjunto numérico que creó el hombre. No es descabellado pensar que el hombre primitivo tenía el sentido del número. Esto es la facultad que “le permite reconocer que algo ha cambiado en una pequeña colección cuando, sin su conocimiento directo, se ha sacado o añadido un objeto” (Dantzig, 1971). El hombre establece relaciones de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Al primer objeto de un conjunto se le asocia un objeto del otro conjunto, al segundo objeto se le asocia otro y así hasta agotar el número de objetos del primer conjunto. Por ejemplo haciendo una pila de piedras colocando una tras otra por cada objeto registrado de la colección. Nace la idea del número cardinal. De aquí que representar lo que se ve para registrar el número de objetos de cierta colección decanta como algo natural. Incisiones sobre un árbol, marcas en arcilla y rayas en piedras resultaron formas naturales de registrar números en forma escrita. Evidencia de esto son el registro de números naturales en los documentos dejados por los sumerios alrededor del 3500 a.C. En la escritura cuneiforme solo existían símbolos para los números 1, 10, 60 y 3600 (Bellos, 2011), no existía una representación del cero. Lo mismo podemos decir de los egipcios, babilonios y romanos. La representación del número cero nos llega mucho después, sobre todo como una necesidad de la representación posicional. Según Dantzig (1971) “la mente concreta de los antiguos griegos no podía concebir el vacío como un número” menos aún dotarlo de un símbolo. Se atribuye a los hindúes el descubrimiento del cero por la necesidad de representar números sin ambigüedad. Se debe a ellos el uso del cero, no sólo como cifra numérica, sino como símbolo operatorio (Rey y Babini, 1951).

La representación del cero en la matemática hindú o incluso por los mayas (quienes representaban el cero con un signo semejante a una concha) no es un argumento a favor de ser un número natural. Sin embargo, históricamente esto muestra que el hombre necesitó de varios siglos para comprender su significado, necesidad e importancia a diferencia de otros números. Bajo este enfoque el cero no es un número natural. Mientras que resulta natural representar lo que se ve, no parece ser natural representar lo que no se ve. Lima, en su encantador libro mi profesor de matemática, escribe que no ayuda a la discusión examinar si el número cero es o no natural en oposición a artificial. Señala que “los nombres de las cosas en matemática no son escogidos generalmente de modo que transmitan una idea sobre lo que deben ser esas cosas” (Lima, 1998). De aquí que a continuación describimos argumento más fuerte del porque no se considera el cero como un número natural. Considerar cero como natural o no es una decisión que se arrastrará a lo largo de un curso de cálculo diferencial e integral. Esto debe evitar contradicciones internas. Un concepto importante en el cálculo es el de sucesión. Una sucesión de números reales es un conjunto de números escritos en un orden definido y suele definirse como una función cuyo conjunto de partida es el conjunto de los números naturales (f :ℕ®ℝ). Así a cada número natural n le corresponde un término a_n=f (n) de la sucesión. El concepto de sucesión permite definir punto de acumulación. A su vez este permite definir el del límite de una función y con ello dos conceptos fundamentales del cálculo: derivada e integral definida. En toda sucesión infinita se puede reconocer un primer término a₁, un segundo término a₂, un tercero a₃ y así sucesivamente. Como vemos la definición de sucesión considera al conjunto ℕ como empezando desde el número uno, no desde el cero. Luego, bajo este enfoque, el cero no es un número natural.   

Un segundo enfoque señala que el cero es un número natural. Este enfoque está asociado con la aritmética de Peano (1858-1932) quien a partir de tres ideas (cero, número y sucesor) y cinco axiomas expresa los principios esenciales de los números naturales. Los cinco axiomas (o proposiciones primitivas como lo llama Rusell) son:

1. 0 es un número.
2. El sucesor de cualquier número es un número.
3. Dos números distintos no tienen nunca el mismo sucesor.
4. 0 no es el sucesor de ningún número.
5. Toda propiedad perteneciente al 0 así como al sucesor de todo número que posea esta propiedad, pertenecerá igual a todos los demás números.

Entendemos por sucesor el número siguiente en el orden natural. El sucesor de 0 es 1, el sucesor de 1 es 2, el sucesor de 2 es 3 y así sucesivamente. Queda claro que, bajo este enfoque, el 0 es un número natural. Russell en su Introducción a la Filosofía Matemática (1988) lo dice claramente:

“Actualmente, para la persona medianamente instruida, el punto de partida obvio de la matemática sería la serie de los números enteros:

1, 2, 3, 4, … etc.

Probablemente, sólo a una persona con algunos conocimientos de matemática se le ocurriría empezar por el 0 y no por el 1; pero aquí presupondremos este grado de conocimiento y partiremos de la serie: 

0, 1, 2, 3, … n, n+1, …

y a esta serie nos referiremos cuando hablamos de la serie de los números naturales”

Peano no definió los términos “cero”, “número” ni “sucesor”. Por lo que aceptamos los axiomas de Peano suponiendo la comprensión de estos términos. Russell (1988), busca definir el término “número” basándose en la idea de clase (o colección) señalando que “número es todo aquello que sea el número de alguna clase”, donde “número de una clase es la clase de todas las clases similares a ella” y que “una clase es similar a otra cuando existe una relación biunívoca de la cual una clase es el dominio y la otra es el dominio inverso”. Estas definiciones nos llevan a considerar un número natural como el cardinal de un conjunto. Bajo este enfoque el cero es un número natural. Dado que existe el conjunto vacío y este no tiene ningún elemento, entonces cero es el cardinal del conjunto vacío. Los números naturales sirven de especie básica de números a partir de la cual puede derivarse otros conjuntos numéricos. Reconociendo que este término tiene cierta ambigüedad (en tanto algunos incluyen el cero entre los números naturales y otros no), Barker (1965) señala que “debemos contar con él”. La teoría de conjuntos requiere considerar al cero como cardinal del conjunto vacío. El álgebra lo necesita para definir el elemento neutro aditivo (a+0=a, "Îℕ) y permitir que al operar a-b resulte un número natural "a,bÎℕ tal que a³b. Así cuando el algebrista considera el cero como número natural, está facilitándose la vida, eliminando algunas excepciones (Lima, 1998).

Es conocido el esfuerzo hecho por Russell y Whitehead para dotar a la matemática del formalismo que permita derivar conocimientos a partir de un conjunto de axiomas. Se introducen términos matemáticos que se definen por medio de otros términos. Basta con revisar la definición de número dada por Russell para quien “la matemática pura consiste únicamente en afirmaciones tales como, si de algo se puede decir tal cosa y tal otra, entonces para este algo se cumple esto y aquello” (citado por Paulos, 2003). Sin embargo excedernos en el formalismo, sacrificando concreción por abstracción, puede llevar al docente a un terreno no deseado cuyo costo generalmente lo paga el estudiante. Considerar el cero como un número natural es cuestión de conveniencia. Los docentes debemos tener en cuenta el nivel educativo y el programa del curso de matemática para adoptar un enfoque. Es recomendable que en una misma institución se adopte el mismo enfoque a lo largo de la carrera. No debería ocurrir que existan contradicciones. De ser el caso los estudiantes deben conocer los dos enfoques y el docente sustentar el por qué adopta uno de ellos. Tampoco debería ocurrir que esta discusión se extienda más allá de lo necesario. Con frecuencia los docentes hacen un pequeño comentario, casi como si se tratara de una nota al pie de página, mencionando que existe otro enfoque distinto al adoptado. Esto debe hacerse con mucho cuidado ya que si bien protege al profesor de posibles críticas también puede confundir al estudiante si este no tiene la suficiente madurez matemática.

Referencias

Barker, S. (1965). Filosofía de las matemáticas. UTEHA. México, México. p. 89.

Bellos, A. (2011). Alex en el país de los números. Grijalbo. España. p. 76.

Dantzig, T. (1971). El número lenguaje de la ciencia. Editorial Hobbs. Buenos Aires, Argentina. p. 17, 36, 45.

Lima, E. (1998). Mi profesor de matemática. Instituto de Matemática y Ciencias Afines. Lima, Perú. pp. 148-149.

Paulos, J. (2003). Más allá de los números. Meditaciones de un matemático. METATEMAS, Barcelona, España. p. 140.

Rey, J. y Babini, J. (1951). Historia de la matemática. Espasa Calpe. Buenos Aires, Argentina. pp. 126-129.

Russell, B. (1988). Introducción a la filosofía matemática. Ediciones Paidós. Barcelona, España. pp. 12-25. 

El papel del contexto en las sesiones de aprendizaje

Matemática es considerada como una de las principales áreas académicas. Su importancia radica en que, por su propia naturaleza, el trabajo con las matemáticas posibilita el desarrollo de capacidades como las de elaborar estrategias, resolver problemas, tomar decisiones, justificar resultados, entre otras. En la tercera versión del Marco Curricular "Actuar matemáticamente en diferentes contextos" es considerado uno de los ocho aprendizajes fundamentales de la educación básica peruana. En la actualidad el MINEDU viene implementando un conjunto de medidas que buscan mejorar la calidad de la educación pública entre ellas la elaboración de documentos como el Marco Curricular, Los Mapas de progreso y Las Rutas del Aprendizaje. Este último contiene las competencias, capacidades e indicadores de cada área curricular por cada uno de los grados de la educación básica. De este modo se busca que, durante su vida escolar, el estudiante alcance las competencias previstas. 

Como una forma de ayudar a que los docentes concreten estas intenciones el MINEDU ha compartido en la web de perueduca sesiones de aprendizaje que les servirán de modelo en su labor pedagógica. Consideramos que esto es un avance sin embargo una revisión de los indicadores del área y las sesiones nos hace ver que, al menos en el área Matemática, aún hay varias cosas por afinar. Se espera que los estudiantes desarrollen competencias en relación a 1) Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad; 2) Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio; 3) Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización y 4) Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre. Como vemos se trata de cuatro competencias que involucran diferentes situaciones. Aquí el término "situación" refiere a una condición desafiante o retadora que se presenta para dinamizar el aprendizaje. Una situación significativa los motivaría a solucionar problemas o lograr cierto propósito movilizando, a partir de ello, un conjunto de capacidades matemáticas. Estas situaciones son contextualizadas con el fin de otorgarle significatividad respecto al estudiante ya que se consideran diferentes aspectos como necesidad, interés, utilidad o importancia. 

De este modo se estimula el "pensar y actuar matemáticamente" en situaciones contextualizadas que comprenden diferentes contenidos matemáticos. Aunque no así de directas diremos que las situaciones de cantidad hacen referencia a contenidos de Números y operaciones; situaciones de regularidad, equivalencia y cambio nos refiere a contenidos de álgebra y funciones; situaciones de forma, movimiento y localización refiere a geometría y medida; y situaciones de gestión de datos e incertidumbre refiere a contenidos de estadística y probabilidad. El logro del "pensar y actuar matemáticamente" en determinada situación requiere la suma de capacidades matemáticas. Estas son 1) Matematiza situaciones; 2) Comunica y representa ideas matemáticas; 3) Elabora y usa estrategias; y 4) Razona y argumenta generando ideas matemáticas. Estas capacidades se observan y miden a partir de sus respectivos indicadores. 

La imagen anterior, tomada de una la sesión 3 de la unidad didáctica 1 del 5 to grado de secundaria, muestra los aprendizajes esperados expresados a partir de la competencia, tres capacidades y un indicador por cada capacidad que serán trabajados en una sesión de 2 horas pedagógicas titulada "Determinando el tamaño del glóbulo rojo y blanco". Esta sesión está comprendida en una unidad didáctica cuya situación trata acerca de la anemia y el sobrepeso, dos de las enfermedades mas comunes entre los adolescentes debidas a inadecuados hábitos alimenticios. 

El docente busca problematizar la situación de la unidad a partir de preguntas que no hacen referencias directas a contenidos matemáticos. Son preguntas que buscan movilizar el pensamiento del estudiante. Luego en cada sesión se retoma aspectos considerados en la situación relacionándolos con contenidos matemáticos específicos. Por ejemplo en el caso de la sesión 3 se propone observar un vídeo referido a la anemia infantil donde se habla de los glóbulos rojos, lo que se vincula con la situación de la unidad didáctica, y nos da la oportunidad de trabajar el contenido matemático descrito en los indicadores de la sesión. Para ello el docente lanza las siguientes preguntas: ¿Tienen idea del tamaño de un glóbulo rojo? ¿Cuáles son los valores normales del volumen de un glóbulo rojo? ¿Qué tipos de anemia se presentan y en qué casos? Nuevamente se tratan de preguntas que no refieren algún contenido matemático específico. Se recogen y valoran las participaciones de los estudiantes y el docente direcciona con preguntas más precisas que lleven a la necesidad de usar ciertos contenidos matemáticas para dar respuesta a lo pedido. 

La matemática contextualizada responde a un enfoque de la matemática para la construcción de ciudadanía. Desde este enfoque se considera la matemática como un instrumento de conocimiento al servicio de una problemática concreta y se le busca integrar con otras disciplinas. Se logran aprendizajes con un alto nivel de significatividad cuando estos se vinculan con las prácticas sociales y culturales. Consideramos que presentar situaciones contextualizadas en el trabajo con contenidos matemáticos democratiza las matemáticas en tanto se muestra su importancia, utilidad y mejora la actitud hacia su estudio.

Preparación ingreso a la PUCP

El grupo La Matriz presenta su programa de preparación para postulantes a la Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP) en las modalidades de admisión La primera opción e Ingreso por Tercio Superior. Si estas cursando el quinto de secundaria y postulas a la PUCP entonces tenemos un programa a tu medida que te prepara en las competencias de Lectura, Redacción y Matemática y adicionalmente, si vas por ITS, te asesoramos para la entrevista personal. 

Nuestro programa se desarrolla en la modalidad B-Learning lo que constituye el factor diferencial del grupo La Matriz. Esta modalidad es efectiva para jóvenes con distintos estilos de aprendizaje y combina las ventajas del aprendizaje en forma presencial como en forma virtual. La modalidad presencial es actualmente la ofrecida en las academias de preparación. Son conocidas las ventajas que ella tiene como la de permitir una interacción más cercana entre docentes y estudiantes. De este modo las dudas del estudiante pueden ser aclaradas cara a cara y al momento. Pero también podemos observar algunas desventajas. Por lo general durante una clase presencial los estudiantes toman una actitud pasiva. El docente explica y escribe en la pizarra, el estudiante escucha y anota en el cuaderno. El supuesto es que si el estudiante asiste a clase y atiende la exposición del tema entonces aprende el tema. Si bien lo presencial contribuye al aprendizaje no lo garantiza. De aquí que asistir más días a la semana a escuchar un tema tras otro no siempre suma a la preparación de un estudiante. 

Los jóvenes de hoy, pertenecientes a la generación Millennials, están muy familiarizados con los recursos virtuales que tienen a mano. Pero así como usan estos para su entretenimiento también los pueden aprovechar para su aprendizaje. En nuestro programa B-Learning para la PUCP las actividades no presenciales de aprendizaje han sido organizadas e intencionalmente diseñadas para alcanzar el logro de las competencias en Lectura, Redacción y Matemática. Nuestra aula virtual se desarrolla en una plataforma educativa de prestigio internacional y contiene test de entrada, vídeos instructivos, resúmenes teóricos, test de autoevaluación, entre otras actividades de aprendizaje. El estudiante comprometido con su preparación puede optimizar su tiempo y aprendizaje eligiendo el momento y lugar desde donde ingresar al aula virtual, tomando un rol activo al realizar las actividades sugeridas. De este modo no tiene que desplazarse tantos días ni por tanto tiempo, además no descuida sus propios deberes del colegio.

Las dudas que puedan surgir durante esta fase serán luego atendidas y reforzadas en las sesiones presenciales. En La Matriz contamos con un equipo de docentes, con más de quince años de experiencia en la enseñanza universitaria, preuniversitaria y escolar en las más prestigiosas universidades privadas y colegios del Perú.

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