Definición de proposición en relación con las matemáticas

La matemática es una ciencia formal. Partiendo de axiomas y definiciones se formulan una serie de proposiciones que, expresadas en lenguaje simbólico y siguiendo reglas de inferencia, permiten validarlas y construir todo un cuerpo de conocimientos. Es claro que en las matemáticas trabajamos con proposiciones pero el término proposición es tomado de la lógica. Este suele ser definido como un enunciado que puede ser calificado de verdadero o falso. Se considera la proposición como un enunciado y este último es considerado como una frase u oración. De acuerdo a lo anterior, por ejemplo, la expresión 3<7, que es claramente una proposición verdadera del campo matemático, no lo sería si atendemos a lo dicho líneas arriba. Se hace necesario analizar la coherencia de la definición de proposición y su pertinencia en relación con las matemáticas. En el presente trabajo se hace una revisión de las definiciones de lógica, proposición y enunciado tomadas en una muestra de textos de la secundaria y universitarios que tratan el tema. 

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Pertenencia e inclusión

Consideremos el siguiente ejercicio:

El anterior es un ejercicio clásico del tema de conjuntos. Tomamos el término clásico como un adjetivo que refiere a algo típico o característico cuando se trata el tema. Este carácter lo otorga el hecho que para responder correctamente el ejercicio se requiere distinguir entre pertenencia e inclusión. Pertenencia e inclusión nos refieren a relaciones que existen entre los elementos y subconjuntos de un conjunto con el propio conjunto.

La matemática trata de entes matemáticos que son abstractos o interpretados y solo existen en la mente humana. Dedekind designaba como “cosa” a todo objeto de nuestro pensamiento. Esta “cosa” quedaría completamente determinada a partir de todo aquello que se podía decir o pensar de ella. Señalaba que con frecuencia distintas cosas, consideradas por cualquier motivo bajo un mismo punto de vista, son reunidas mentalmente. De esta noción de reunión, colección, agrupación surge la idea de conjunto y con ello las de elemento y pertenencia. Dedekind llamaba a dicha reunión sistema (o un conjunto) y a las cosas que eran reunidas elementos del sistema puntualizando que un sistema es igualmente, como objeto de nuestro pensamiento, una cosa. De aquí que un sistema queda totalmente determinado cuando para cada cosa está determinado si es o no un elemento del sistema. En el diccionario de la RAE se dice que conjunto es la “totalidad de los entes matemáticos que tienen una propiedad común”.

Conjunto es un concepto primitivo que nos da la idea de agrupación, colección o reunión de objetos que están bien definidos.

En tanto ciencia formal la matemática hace uso de símbolos y, en el caso de los conjuntos, se utilizan letras mayúsculas para distinguirlos. Los objetos que forman el conjunto se llaman “elementos del conjunto” y una forma de expresar el conjunto es agrupando sus elementos organizadamente encerrados entre llaves. Así por ejemplo el “conjunto de las vocales de la palabra colegio” se presenta del siguiente modo { e, i, o }. Nótese que ellos siguen un orden alfabético y a pesar que “colegio” tiene dos veces la vocal “o” en el conjunto se le escribe solo una vez.

Si un objeto x es elemento de un conjunto A diremos que x pertenece al conjunto A lo que denotamos por xÎA. Del mismo modo si un objeto x no es elemento del conjunto A  diremos que x no pertenece al conjunto A y escribimos xÏA. La relación de pertenencia (o no pertenencia) se da entre un elemento y un conjunto.

Dado un elemento x  y un conjunto A de un universo, una y solo una de las siguientes expresiones es verdadera xÎA o xÏA.

Se denomina conjunto vacío, simbolizado por f o { }, aquel conjunto que no tiene elementos. Dado un conjunto A no vacío, si tomamos algunos de sus elementos podemos formar otros conjuntos que constituyen subconjuntos del conjunto A dado. De este modo cualquier elemento de un subconjunto de A también es elemento de A. Si un conjunto tiene n elementos se pueden obtener 2ⁿ subconjuntos entre los que se consideran el propio conjunto y el vacío. Un conjunto B está incluido en otro conjunto A si B es subconjunto de A y denotamos BÌA. La relación de inclusión (o no inclusión) se da entre un conjunto y otro conjunto.

Dado dos conjuntos A y B de elementos de un conjunto universal, decimos que B está incluido en A y denotamos por BÌA, si cada elemento de B es también un elemento de A.

En el ejemplo citado tenemos el conjunto A={2,3,{4},5}. Este conjunto tiene cuatro elementos que son 2, 3, {4} y 5. Podemos decir entonces que las afirmaciones I (2ÎA) y III ({4}ÎA) son verdaderas. Mientras que la II (4ÎA), IV ({2,5}ÎA) y V ({{4}}ÎA) son falsas debido a que ninguno de estos 4, {2,5}, {{4}} son elementos del conjunto A. Dado que el conjunto A tiene cuatro elementos, entonces A tiene 16 subconjuntos. Son cuatro subconjuntos de un elemento {2}, {3}, {{4}}, {5}; seis subconjuntos de dos elementos {2,3}, {2,{4}}, {2,5}, {3,{4}}, {3,5}, {{4},5}; cuatro subconjuntos de tres elementos {2,3,{4}}, {2,3,5}, {3,{4},5}, {2,{4},5}; el propio conjunto {2,3,{4},5} y el conjunto vacío f. De aquí entonces que las afirmaciones VII ({2}ÌA), IX ({{4}}ÌA) y X ({2,5}ÌA) son verdaderas, siendo falsas la VI (2ÌA) y VIII ({4}ÌA).

Hemos visto que si x es elemento de un conjunto A, las expresiones xÎA y {x}ÌA son verdaderas mientras que xÌA y {x}ÎA son falsas. Sin embargo debe tenerse cuidado con esto último en el sentido que podría presentarse el caso de un conjunto que tenga por elementos x y {x}. Tomemos el caso del conjunto B={6,{6}} el cual tiene dos elementos 6 y {6} y cuatro subconjuntos {6}, {{6}}, {6,{6}} y f. Con respecto a los elementos 6 y {6} es correcto afirmar 6ÎA y {6}ÎA, con respecto al subconjunto {6} es correcto afirmar {6}ÌA. Este tipo de situaciones la encontramos como parte de los “ejercicios tipo” del tema de conjuntos de separatas de algunas academias de Lima. Juzgue Ud. su pertinencia.

Definiciones y axiomas en la construcción de objetos matemáticos

La matemática, al igual que la lógica, es una ciencia formal que, según Bunge, trata de entes ideales abstractos o interpretados que solo existen en la mente humana. Los entes matemáticos son construidos a partir de definiciones y axiomas. Por medio de la definición se expone, con claridad y exactitud, los caracteres genéricos y diferenciales del ente matemático. Por ejemplo en el libro I de su monumental obra Los Elementos, Euclides empieza dando un conjunto de definiciones, entre ellas las de punto y línea:

1.       Un punto es lo que no tiene partes.

2.       Una línea es una longitud sin anchura.

Punto y línea son ejemplos de entes matemáticos. En este caso se trata de entes cuyas ideas nos remiten a objetos concretos o representaciones de objetos que existen en el mundo real. La idea de un punto nos la da un granito de arena o la marca que deja un lápiz afilado sobre una hoja de papel mientras que un hilo tenso y largo nos da la idea de línea. Sin embargo la formulación, construcción y desarrollo de la matemática se basa en el razonamiento y demostración independientemente de los objetos concretos. Reiteramos que la matemática trata con entes ideales. La definición de punto indica que es aquello que no tiene partes, pero en el mundo real ¿puede existir algo que no tenga partes? Vemos que la definición de punto, al igual que la de línea, es solo una idea. De aquí que no se debe pretender asociar toda definición matemática con algo concreto ya que estamos tratando con cuestiones ideales. La definición de cono se presenta como un ejemplo más descriptivo de este carácter ideal: “Un conjunto AÌℝ²  es un cono si (x,y)ÎA entonces (tx,ty)ÎA, para todo t>0”. Esta definición, aunque no parezca muy clara, permite construir la de función homogénea en tanto que una condición necesaria, pero no suficiente, para que una función f sea homogénea es que su dominio sea un cono.

La definición de un mismo ente matemático puede hacerse de varias formas usando el lenguaje natural o el propio lenguaje matemático. Tomemos como ejemplo estas definiciones del número p:

Las tres definiciones anteriores son correctas lógicamente. No admiten contradicciones ni consigo misma ni con ninguna definición anterior. Sin embargo ellas corresponden a diferentes partes de las matemáticas y requieren de cierta base de conocimientos para ser comprendidas. En el primer caso de conocimientos básicos de geometría, en el segundo de series matemáticas y teoría de ecuaciones, y en el tercero de la convergencia de integrales impropias. La comprensión de la definición de un ente matemático requiere a su vez saber otras definiciones sean estas conceptuales u operacionales. Por ejemplo comprender la definición “p  es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro” supone haber definido previamente circunferencia y diámetro, así como saber medir su longitud y calcular la razón entre ellas. Un aspecto crucial en el trabajo con las matemáticas radica en el hecho de definir cada ente o término antes de ser usado. Sobre todo al momento de enunciar los teoremas que se siguen. De este modo se otorga claridad y ayuda a prevenir falacias en sus demostraciones asegurando su consistencia interna.

Regresemos a Euclides. Una vez definidos los términos primitivos (punto, línea, superficie, etc.) este da un conjunto de postulados que refieren a los términos primitivos y servirán de apoyo para razonamientos posteriores en la construcción del resto de su obra. El primer postulado dice “De un punto a otro puede trazarse solamente una línea recta”. Los postulados de Euclides son principios matemáticos tan claramente ciertos que nadie en su sano juicio que los entienda puede dudar de su verdad. En la actualidad el uso del término postulado ha caído en desuso y solemos usar el de axioma. Euclides también utiliza axiomas (o nociones comunes) como por ejemplo “Las cantidades iguales a una misma son iguales entre sí”. Para Euclides la diferencia básica entre los postulados y los axiomas parece ser que los primeros hablan de los términos primitivos de la Geometría mientras que los segundos son más generales. Los axiomas enuncian en forma clara y breve verdades matemáticas que, aunque no siempre nos resultan evidentes, son aceptadas sin demostración. Por ejemplo en el sistema de los números reales encontramos los axiomas A1 de clausura " a, b Î ℝ:  a+b Î ℝ  y  A2 del neutro aditivo $ 0 Î ℝ tal que " a Î ℝ:  a + 0 = 0 + a = a. El A1 señala que la suma de dos números reales es también un número real y el A2 enuncia la existencia del número 0, neutro aditivo, que es tal que la suma de cualquier número real con 0 resulta el mismo número real. Otro axioma es el de completitud. “Todo conjunto no vacío de números reales que esté acotado superiormente admite un supremo”. Para muchos este axioma no resulta algo evidente ni fácil de comprender ya que demanda conocer la definición de supremo y conjunto acotado. Sin embargo su interpretación es sencilla y se basa en que, intuitivamente, aceptamos que los números reales completan la recta numérica. Esto es que a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por lo tanto no queda ningún hueco en la recta ya que todos son tapados por algún número real y de aquí la completitud.

Las definiciones y los axiomas resultan de la mayor importancia ya que estos constituyen el punto de partida de las demostraciones de los teoremas que son enunciados a partir de ellos. La acción de enunciar nos refiere a expresar, por medio del lenguaje natural o matemático, una cuestión matemática con sentido completo. Así un enunciado puede referirse a una cuestión teórica como un teorema o también a algo práctico como un problema. Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso. En matemática, por lo general, se suelen utilizar las proposiciones para enunciar la verdad de una cuestión matemática que ya ha sido demostrada o se pretende demostrar. Este es el caso de los teoremas y los lemas. Un teorema es una proposición que afirma una verdad que puede ser demostrada. Demostrar es probar la verdad de lo que se afirma. Toda demostración matemática supone ciertas condiciones de partida o premisas como lo son los axiomas y las definiciones previas a lo enunciado por dicho teorema. Lo que se busca demostrar debe ser consecuencia lógica de estas premisas. Para ello utilizamos todas las herramientas que la matemática nos brinda. Un lema es una proposición que hay que demostrar antes de establecer un teorema. Esto suele hacerse con el objeto de acortar la demostración del teorema en tanto ella se apoya del lema en cuestión. Dependiendo de cómo se estructuren y ordenen los apuntes teóricos un lema puede servir para más de un teorema. De un teorema se puede desprender otras proposiciones verdaderas que son llamadas corolario. Los teoremas y corolarios suelen ser enunciados sin mencionar su naturaleza y presentados como propiedades de este modo se le otorga un atributo o cualidad a un determinado objeto matemático que se va construyendo. 

El uso del punto y la coma decimal

El lenguaje usado por las matemáticas comprende un conjunto de signos, símbolos y notaciones para representar y operar con los diferentes conceptos matemáticos. Cuando se introduce un nuevo concepto en matemática se muestra también la forma como se le va a denotar. Se tratan de convenciones que buscan facilitar y estandarizar el tratamiento del concepto. Sin embargo las convenciones adoptadas en matemáticas no siempre se llegan a legitimar en el uso diario sobre todo de aquellos alejados del circulo académico matemático. Un ejemplo de esto lo tenemos con el sistema centesimal de medida angular. El sistema centesimal o francés, surgido como consecuencia de la revolución francesa, tiene como unidad el grado centesimal (1g) el cual es la 400ava parte de una vuelta. Sus subunidades son el minuto centesimal (1g=100m) y segundo centesimal (1m=100s). Al tomar como base el 100, a diferencia del sistema sexagesimal cuya base es 60, se buscaba facilitar el cálculo al operar con medidas de ángulos planos. A pesar de estas ventajas las personas estaban muy acostumbradas a trabajar con el sistema sexagesimal o inglés. El sistema centesimal no se llegó a popularizar ni siquiera en Francia y actualmente prácticamente ha caído en desuso. 

Algo similar viene ocurriendo con la representación decimal donde las normas indican el uso de la coma pero suele presentarse con el tradicional punto. En nuestra vida cotidiana, encontramos ejemplos de diferentes formas de escribir números decimales. La primera forma, que llamaremos punto decimal, es cuando se usa el punto en un número decimal para separar las cifras de la parte entera de las cifras de la parte decimal. La segunda forma, que llamaremos coma decimal, es cuando se usa la coma en un número decimal para separar las cifras de la parte entera de las cifras de la parte decimal. Así encontramos en la página web http://www.bvl.com.pe/ de la Bolsa de Valores de Lima (BVL) información presentada usando el punto decimal, mientras que en la sección economía de la web de El Comercio (http://elcomercio.pe/) encontramos información donde se usa la coma decimal. En nuestro país, fuera del ámbito de la educación básica, es intensivo el uso del punto decimal. Así en los recibos de agua, luz y teléfono, estados de cuenta de las tarjetas de crédito y vouchers de depósitos, entre muchos otros ejemplos, se nos reporta la información numérica haciendo uso del punto decimal. El uso de la coma es más común como separador de la cifra de los miles. Un ejemplo lo encontramos en los valores numéricos que representan los precios de determinados artículos en los catálogos de ofertas. Incluso el uso de la coma y el apóstrofo, para destacar los miles y millones, al promocionar un premio. Por ejemplo en la web de La Tinka (http://www.intralot.com.pe/intralotportal/tinka) hay un banner que anuncia un “pozo acumulado 02 set S/. 1’800,000”.

En sus respectivas webs instituciones del estado como SUNAT y ONPE presentan información donde usa el punto decimal y la coma para los miles. En lo cotidiano, son más los casos en que un ciudadano lee, escribe y/o manipula números haciendo uso del punto decimal que con la coma decimal. Basta ver un catálogo web o impreso de conocidas tiendas de departamentos que operan en el país. Lo contrario ocurre en la educación básica donde una revisión de los libros de secundaria muestra el uso de la coma decimal. Representar números decimales usando la coma decimal responde a las reglas dadas por el sistema internacional de unidades (SIU) y que en nuestro país son adoptadas por el INDECOPI. Según el SIU:

• Se debe separar la parte entera de la parte decimal mediante una coma. No debe usarse el punto para separar enteros de decimales.
• Si la parte entera (o decimal) de los valores numéricos tiene más de cuatro cifras se recomienda escribirla separando, por un espacio en blanco, grupos de tres cifras contados a partir de la coma decimal.

Esta última recomendación no aplica para indicar el año como por ejemplo 2015. Por otro lado la Organización Internacional de Normalización (ISO) señala el uso de la coma decimal en todos sus documentos y normas técnicas. Sin embargo estas reglas no son rígidas. Así el SIU indica que en los casos que los valores numéricos representen alguna cantidad que podría dar lugar a fraude o estafa se pueden eliminar los espacios en blanco. Al mismo tiempo  las normas ISO no son obligatorias en países como EEUU donde usan el punto decimal. La gran mayoría de artículos de investigación que siguen las normas APA (American Psychological Association) hacen el uso del punto para cantidades expresadas en decimales. En las pruebas del GMAT (Graduate Management Admission Test) y GRE (Graduate Record Examination) se escriben los números decimales usando el punto y las cifras en miles son separadas con comas. Esta norma también la adoptan algunos centros preuniversitarios de Lima.

La matemática tiene su propio lenguaje, por tanto una semántica y sintaxis propia. Nos valemos de símbolos, signos y reglas para trabajar con los objetos matemáticos. Así como para el lenguaje común Wittgenstein decía “… ¡No busquéis su significado! Buscad el uso” la discusión acerca de representar números con la coma decimal o con el punto decimal debería tomar en cuenta su uso. Lastimosamente, y una vez más, encontramos aquí una diferencia entre lo que se enseña en los colegios y lo que se utiliza en la vida cotidiana.

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Una mala representación de los conjuntos numéricos

Al hacer una búsqueda por Google acerca del tema conjuntos numéricos en las imágenes encontramos un buen número de representaciones como la mostrada en la figura 1. Sin embargo esta representación no describe en forma correcta las relaciones que existen entre los distintos conjuntos numéricos. Se muestra una zona de números reales que no son racionales ni irracionales y sabemos que no existen este tipo de números.

Hagamos una rápida revisión de los conjuntos numéricos.

El primer conjunto que mencionaremos es el de los números naturales. Este conjunto, representado por N, comprende aquellos números que utilizamos para contar como el uno, dos, tres, cuatro, etc[1].

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... }

El conjunto N es cerrado con respecto a la adición y multiplicación. Esto es que dados dos números naturales a y b, la suma a+b y el producto a.b también son números naturales. El conjunto N no es cerrado con respecto a la sustracción lo que nos lleva a la necesidad de un conjunto que permita esta operación dentro de él.

Este segundo conjunto, que cubre la necesidad señalada anteriormente, es el de los números enteros. Este conjunto, representado por Z, comprende los números naturales, sus respectivos opuestos aditivos y el cero. Dicho de otra forma el conjunto Z es la reunión de los enteros positivos Z⁺, el cero y los enteros negativos Z^-.

Z = { ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ... }

El conjunto Z es cerrado con respecto a la adición, sustracción y multiplicación pero no respecto a la división. Así dados dos números enteros a y b, el cociente de ellos a/b no siempre es un número entero. Tomemos por ejemplo el caso de los enteros 2 y 5. Tomados en ese orden, su suma 7, diferencia -3 y producto 10 son números enteros, mientras que su cociente 0.4 no lo es.

El tercer conjunto, representado por Q, es el de los números racionales. Este incluye al conjunto de los números enteros. El término racional viene de ración (parte de, fracción). En general diremos que un número es racional si puede escribirse como la fracción de dos números enteros con denominador diferente de cero.

El conjunto Q es cerrado con respecto a las cuatro operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división) y, de acuerdo con la definición, los números racionales comprenden los números enteros, los decimales finitos y los decimales infinitos periódicos. Sin embargo existen números que no son ni enteros, ni decimales finitos, ni decimales infinitos periódicos. Un ejemplo clásico lo constituyen las raíces cuadradas de los números primos. Números como √2  o π son decimales infinitos no periódicos:

Estos números no son racionales. 

√2  y π pertenecen al cuarto de los conjuntos numéricos, el de los números irracionales, conjunto que representamos por I. Diremos que un número irracional es cualquier número decimal infinito no periódico. De acuerdo a esto no es posible que un número sea racional e irracional al mismo tiempo. O lo que es lo mismo, los conjuntos Q y I son disjuntos por lo que QÇI=f.

El último conjunto numérico que mencionaremos es el conjunto de los números reales. Los reales, representados por R, es la reunión del conjunto de los racionales y los irracionales: R=QÈI. Considerando R como el conjunto universal diremos que Q y I son complementarios con respecto a R. Esto es que dado que R=QÈI entonces Q’=R-Q=I  y I’=R-I=Q.

De esto último se desprende que: 

• Si x es un número real y x no es un número racional, entonces x es un número irracional. 
• Si x es un número real y x no es un número irracional, entonces x es un número racional. 
• No existe un número real x que no sea ni racional ni irracional al mismo tiempo.

Ahora volvamos a la imagen presentada.

Figura 1

En la imagen claramente se lee R=QÈI, lo indica que el conjunto de los números reales (R) es la reunión del conjunto de los números racionales (Q) y el conjunto de los números irracionales (I). Reunión que se busca describir con la representación gráfica. La imagen también muestra que el conjunto de los números naturales (N) está incluido en el conjunto de los números enteros (Z) y a su vez el conjunto Z está incluido en el conjunto Q. Al mismo tiempo la imagen muestra que el conjunto Q es disjunto del conjunto I, es decir que Q y I no tienen elementos comunes. Dicho de otra forma, y tal como sabemos, no hay ningún número que sea racional e irracional al mismo tiempo.

Analizaremos un poco más lo representado en la imagen de la figura 1. Para ello mostramos un desglosado de dicha imagen en las figuras 2, 3 y 4 que utilizamos para sustentar el error en el que se cae (o induce) con el tipo de representación de la figura 1.

1)    En la figura 2 podemos reconocer una zona (azul) fuera del conjunto N pero dentro del conjunto Z. Esto significa que en esa zona existen números enteros que no son naturales.

Figura 2

En la zona azul se ubicarían los enteros negativos y el cero.

2)    En la figura 1 podemos reconocer una zona (verde) fuera del conjunto Z pero dentro del conjunto Q. Esto significa que en esa zona existen números racionales que no son enteros.

Figura 3

En la zona verde se ubicarían los decimales finitos y los decimales infinitos periódicos.

3)    En la figura 4 podemos reconocer una zona (amarilla) fuera del conjunto Q y fuera del conjunto I pero dentro del conjunto R. Esto significa que en esa zona existen números reales que no son racionales ni irracionales.

Figura 4

De 3) nos preguntamos, ¿qué números se ubicarían en la zona amarilla?

Un número de esta zona sería real pero no racional ni irracional. Bien sabemos que no existe un número con esas características. Si un número es real o bien es racional o bien es irracional. No hay una tercera posibilidad. Esto se explica debido a que R=QÈI. De esto se desprende que la zona amarilla no existe y por tanto la imagen de la figura 1 no describe correctamente las relaciones entre los conjuntos numéricos.

Dejando claro que R=QÈI; QÇI=f; NÌZÌQ, recomendamos utilizar otro tipo de representación como la mostrada en la figura 5.

Figura 5

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[1] Adoptamos el enfoque que el cero no es un número natural.

¿Los Naturales y los Enteros tienen el mismo número de elementos?

La respuesta es SI. En forma más precisa diremos que el conjunto de los números naturales (ℕ) y el conjunto de los números enteros (ℤ) tienen el mismo cardinal. Los conjuntos ℕ y ℤ son dos conjuntos infinitos numerables. En el caso del conjunto ℕ esto significa que es posible escribir un listado consecutivo de números naturales empezando desde 1[1] y siguiendo así ad infinitum.

ℕ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... }

El conjunto de los números enteros es numerable en tanto sus elementos se pueden poner en correspondencia, uno a uno, con los elementos del conjunto de los números naturales. Si bien el conjunto ℤ no tiene un punto de partida como en ℕ escribiremos una parte del listado de los números enteros según:

ℤ = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Podemos ver que todos los elementos del conjunto ℕ pertenecen al conjunto ℤ. Esto es que ℕ es un subconjunto propio de ℤ o, dicho de otra forma, ℕ está incluido en ℤ. Sin embargo, aunque ℕÌℤ, estos dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Podemos asociar cada entero con un único natural estableciendo una correspondencia biunívoca entre ℕ y ℤ. Por tanto si a cada número entero le corresponde un número natural, entonces ℕ y ℤ tienen el mismo número de elementos.

En efecto, si asociamos los enteros no negativos con los naturales pares y los enteros negativos con los naturales impares, podemos observar que a cada número entero le corresponde un número natural. 

Ahora, ¿cómo puede ser que un conjunto (ℤ) que incluye a otro (ℕ) tenga el mismo número de elementos que este? La razón radica en el hecho que se trata de dos conjuntos equipotentes. Empezaremos revisando el concepto de cardinal de un conjunto para definir un conjunto infinito, luego definiremos la equipotencia entre conjuntos infinitos y a partir de esto comprender el porqué de nuestra respuesta.

El número de elementos de un conjunto A se denomina cardinal del conjunto A. Si se trata de un conjunto finito basta con contar el número de elementos que este tiene para determinar su cardinal. Así por ejemplo el conjunto

P = { x / x es una vocal de la palabra "matemática" }

tiene cardinal 3 ya que, expresado por extensión, el conjunto P = { a, e, i } tiene tres elementos. Hay una propiedad que señala “ningún subconjunto propio de un conjunto finito A tiene el mismo cardinal que A”. En efecto, los subconjuntos propios del conjunto  P = { a, e, i }, es decir los conjuntos formados con por lo menos un elemento del conjunto P pero diferentes del mismo P, son { a }, { e }, { i }, { a, e }, { a, i }, { e, i }, los cuales tienen cardinales 1 y 2 diferentes del cardinal de P.

Si se trata de un conjunto infinito no podemos contar sus elementos debido, justamente, a que son infinitos. Cuando estudiamos los conjuntos numéricos solemos iniciar presentando el de los números naturales convirtiéndose en el ejemplo más común de conjunto infinito. El conjunto ℕ no cumple con la propiedad mencionada anteriormente, es decir que existen subconjuntos propios de ℕ que tienen el mismo cardinal que ℕ. Así por ejemplo el conjunto B = { x² / xÎℕ }  formado por los cuadrados de los números naturales es un subconjunto propio de ℕ pero sin embargo B y ℕ tienen el mismo cardinal ya que por cada xÎℕ existe un  x²ÎB, tal como nos hacía notar Galileo en su famosa paradoja enunciada allá por el siglo XVII. El hecho que el conjunto de los números naturales no cumpla con esta propiedad permite definir un conjunto infinito como aquel que tiene subconjuntos propios con el mismo cardinal que ℕ. Es evidente que ℤ es un conjunto infinito y también es evidente que ℕ es subconjunto propio de ℤ, lo que está de acuerdo con la definición anterior.

La definición de equipotencia entre conjuntos nos proporciona una herramienta más sólida para verificar que los conjuntos ℕ y ℤ tienen el mismo cardinal.

• Dos conjuntos infinitos A y B tienen el mismo cardinal si ellos son equipotentes.
• Dos conjuntos A y B son equipotentes si existe una aplicación biyectiva f:A®B entre ellos.

Lo anterior equivale a decir que dos conjuntos infinitos A y B tendrán el mismo cardinal si existe una aplicación biyectiva f:A®B, esto es que si para cada yÎB existe un único xÎA tal que y=f(x). 

Así por ejemplo los conjuntos ℕ y B = { x² / xÎℕ } son equipotentes ya que existe la aplicación biyectiva f:ℕ®B donde si yÎB existe un único xÎℕ tal que y=f(x)=x² como se muestra en el siguiente esquema:

A partir de la definición dada podemos afirmar que los conjuntos ℕ y ℤ son equipotentes ya que existe la aplicación f:ℕ®ℤ donde si yÎℤ existe un único xÎℕ tal que 

Se puede probar que esta aplicación (téngase en cuenta que se pueden proponer otras) es biyectiva*. Entonces, dado que existe una aplicación biyectiva de ℕ en ℤ, esto prueba que los conjuntos ℕ y ℤ son equipotentes y por tanto ellos tienen el mismo cardinal.

* La prueba de esto así como el documento completo puede descargarse desde AQUÍ

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[1] O empezando desde 0 según el enfoque que se tome.