¿Los Naturales y los Enteros tienen el mismo número de elementos?

La respuesta es SI. En forma más precisa diremos que el conjunto de los números naturales (ℕ) y el conjunto de los números enteros (ℤ) tienen el mismo cardinal. Los conjuntos ℕ y ℤ son dos conjuntos infinitos numerables. En el caso del conjunto ℕ esto significa que es posible escribir un listado consecutivo de números naturales empezando desde 1[1] y siguiendo así ad infinitum.

ℕ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... }

El conjunto de los números enteros es numerable en tanto sus elementos se pueden poner en correspondencia, uno a uno, con los elementos del conjunto de los números naturales. Si bien el conjunto ℤ no tiene un punto de partida como en ℕ escribiremos una parte del listado de los números enteros según:

ℤ = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Podemos ver que todos los elementos del conjunto ℕ pertenecen al conjunto ℤ. Esto es que ℕ es un subconjunto propio de ℤ o, dicho de otra forma, ℕ está incluido en ℤ. Sin embargo, aunque ℕÌℤ, estos dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Podemos asociar cada entero con un único natural estableciendo una correspondencia biunívoca entre ℕ y ℤ. Por tanto si a cada número entero le corresponde un número natural, entonces ℕ y ℤ tienen el mismo número de elementos.

En efecto, si asociamos los enteros no negativos con los naturales pares y los enteros negativos con los naturales impares, podemos observar que a cada número entero le corresponde un número natural. 

Ahora, ¿cómo puede ser que un conjunto (ℤ) que incluye a otro (ℕ) tenga el mismo número de elementos que este? La razón radica en el hecho que se trata de dos conjuntos equipotentes. Empezaremos revisando el concepto de cardinal de un conjunto para definir un conjunto infinito, luego definiremos la equipotencia entre conjuntos infinitos y a partir de esto comprender el porqué de nuestra respuesta.

El número de elementos de un conjunto A se denomina cardinal del conjunto A. Si se trata de un conjunto finito basta con contar el número de elementos que este tiene para determinar su cardinal. Así por ejemplo el conjunto

P = { x / x es una vocal de la palabra "matemática" }

tiene cardinal 3 ya que, expresado por extensión, el conjunto P = { a, e, i } tiene tres elementos. Hay una propiedad que señala “ningún subconjunto propio de un conjunto finito A tiene el mismo cardinal que A”. En efecto, los subconjuntos propios del conjunto  P = { a, e, i }, es decir los conjuntos formados con por lo menos un elemento del conjunto P pero diferentes del mismo P, son { a }, { e }, { i }, { a, e }, { a, i }, { e, i }, los cuales tienen cardinales 1 y 2 diferentes del cardinal de P.

Si se trata de un conjunto infinito no podemos contar sus elementos debido, justamente, a que son infinitos. Cuando estudiamos los conjuntos numéricos solemos iniciar presentando el de los números naturales convirtiéndose en el ejemplo más común de conjunto infinito. El conjunto ℕ no cumple con la propiedad mencionada anteriormente, es decir que existen subconjuntos propios de ℕ que tienen el mismo cardinal que ℕ. Así por ejemplo el conjunto B = { x² / xÎℕ }  formado por los cuadrados de los números naturales es un subconjunto propio de ℕ pero sin embargo B y ℕ tienen el mismo cardinal ya que por cada xÎℕ existe un  x²ÎB, tal como nos hacía notar Galileo en su famosa paradoja enunciada allá por el siglo XVII. El hecho que el conjunto de los números naturales no cumpla con esta propiedad permite definir un conjunto infinito como aquel que tiene subconjuntos propios con el mismo cardinal que ℕ. Es evidente que ℤ es un conjunto infinito y también es evidente que ℕ es subconjunto propio de ℤ, lo que está de acuerdo con la definición anterior.

La definición de equipotencia entre conjuntos nos proporciona una herramienta más sólida para verificar que los conjuntos ℕ y ℤ tienen el mismo cardinal.

• Dos conjuntos infinitos A y B tienen el mismo cardinal si ellos son equipotentes.
• Dos conjuntos A y B son equipotentes si existe una aplicación biyectiva f:A®B entre ellos.

Lo anterior equivale a decir que dos conjuntos infinitos A y B tendrán el mismo cardinal si existe una aplicación biyectiva f:A®B, esto es que si para cada yÎB existe un único xÎA tal que y=f(x). 

Así por ejemplo los conjuntos ℕ y B = { x² / xÎℕ } son equipotentes ya que existe la aplicación biyectiva f:ℕ®B donde si yÎB existe un único xÎℕ tal que y=f(x)=x² como se muestra en el siguiente esquema:

A partir de la definición dada podemos afirmar que los conjuntos ℕ y ℤ son equipotentes ya que existe la aplicación f:ℕ®ℤ donde si yÎℤ existe un único xÎℕ tal que 

Se puede probar que esta aplicación (téngase en cuenta que se pueden proponer otras) es biyectiva*. Entonces, dado que existe una aplicación biyectiva de ℕ en ℤ, esto prueba que los conjuntos ℕ y ℤ son equipotentes y por tanto ellos tienen el mismo cardinal.

* La prueba de esto así como el documento completo puede descargarse desde AQUÍ

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[1] O empezando desde 0 según el enfoque que se tome.